12.3角的平分线的性质12.3角的平分线的性质1.1.掌握尺规作角的平分线的作法，提高作图能力掌握尺规作角的平分线的作法，提高作图能力..2.2.会运用角的平分线的性质和判定解决简单的几何会运用角的平分线的性质和判定解决简单的几何问题问题..3.3.经历角的平分线的性质和判定的发现过程经历角的平分线的性质和判定的发现过程..重点：角的平分线的性质和判定的应用重点：角的平分线的性质和判定的应用..难点：灵活运用角的平分线的性质和判定难点：灵活运用角的平分线的性质和判定..阅读课本阅读课本P48-50P48-50页内容，了解本节主要内容页内容，了解本节主要内容..相等相等平分线上平分线上相等相等如图是一个平分角的仪器如图是一个平分角的仪器,,其中其中ABAB＝＝ADAD，，BCBC＝＝DC.DC.将点将点AA放在角的顶点放在角的顶点,AB,AB和和ADAD沿着角沿着角的两边放下的两边放下,,沿沿ACAC画一条射线画一条射线AEAE，，AEAE就是这个角的就是这个角的平分线，你能说明它的道理吗？平分线，你能说明它的道理吗？1.1.你能不能用尺规作∠你能不能用尺规作∠AOBAOB的平分线的平分线OPOP？？探究一：作角的平分线的方法探究一：作角的平分线的方法AOB2.2.任意作一个角∠任意作一个角∠AOBAOB，作出∠，作出∠AOBAOB的平分线的平分线OCOC，，在在OCOC上任取一点上任取一点PP，过点，过点PP画出画出OAOA、、OBOB的垂线，分的垂线，分别记垂足为别记垂足为DD、、EE，测量，测量PDPD、、PEPE并作比较，你得到什并作比较，你得到什么结论？在么结论？在OCOC上再取几个点试一试上再取几个点试一试..探究二：角的平分线的性质探究二：角的平分线的性质AOBECDP3.3.如图，如图，PDOA⊥PDOA⊥于于DD，，PEOB⊥PEOB⊥于于EE，且，且PDPD＝＝PPE.E.能否证点能否证点PP在∠在∠AOBAOB的平分线上？的平分线上？探究三：角的平分线的判定探究三：角的平分线的判定44①②③①②③44平分∠平分∠AOBAOB55°55°例例11：如图，已知∠：如图，已知∠11＝∠＝∠22，，PP为为BNBN上一点，且上一点，且PD⊥BCPD⊥BC于于DD，，ABAB＋＋BCBC＝＝2BD.2BD.求证：∠求证：∠BAPBAP＋∠＋∠BCPBCP＝＝180°.180°.解析：解析：要证明两个角的和是要证明两个角的和是180°180°，可，可把它们移到一起证它们是邻补角即可把它们移到一起证它们是邻补角即可..证明：证明：∵∠∵∠11＝∠＝∠22且且PD⊥BCPD⊥BC于于DD，，PEPE＝＝PDPDBPBP＝＝BPBP，，在在Rt△BPERt△BPE和和Rt△BPDRt△BPD中，中，∴∴Rt△BPE≌Rt△BPDRt△BPE≌Rt△BPD，，∵∵ABAB＋＋BCBC==2BD2BD，，BCBC==CDCD＋＋BDBD，，ABAB==BEBE－－AEAE，，∵∵AEAE＝＝CD.CD.∵∵PE⊥BEPE⊥BE,,PD⊥BCPD⊥BC,,∴∠PEB∴∠PEB==∠PDC∠PDC==90°.90°.PEPE＝＝PDPD∠∠PEBPEB＝∠＝∠PDCPDCAEAE＝＝CDCD，，在在△△PEAPEA和△和△PDCPDC中，中，∴△∴△PEA≌△PDC,PEA≌△PDC,又∵∠又∵∠BAP+∠EAP=180°,BAP+∠EAP=180°,∴∴PEPE＝＝PD.PD.∴∴BEBE＝＝BD.BD.∴∠∴∠PCB=∠PAE.PCB=∠PAE.∴∠∴∠BAP+∠BCP=180°.BAP+∠BCP=180°.例例22：如图，已知∠：如图，已知∠BB＝∠＝∠CC＝＝90°90°，，EE为为BCBC的中点，且的中点，且AEAE平分∠平分∠BAD.BAD.求证：求证：DEDE平平分∠分∠ADC.ADC.解析：解析：先用角的平分线的性质，再用角的平先用角的平分线的性质，再用角的平分线的判定分线的判定..证明：证明：∵∵AEAE平分∠平分∠BADBAD且∠且∠BB＝＝90°90°，，∴∴EBEB＝＝EF.EF.又∵又∵EE为为BCBC的中点，的中点，过过EE点作点作EF⊥ADEF⊥AD于于FF，，∴∴ECEC＝＝EFEF且且CE⊥CDCE⊥CD于于EE，，EF⊥DAEF⊥DA于于FF，，∴∴DEDE平分∠平分∠ADCADC（到角的两边距离相等的点在这个（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）角的平分线上）..∴∴ECEC＝＝EBEB，，DADADCDCBABABCBC776644证明：证明：∴∠∴∠DEBDEB＝∠＝∠DFCDFC＝＝90°90°，，∵∵BF⊥ACBF⊥AC，，CE⊥ABCE⊥AB，，在在△△DEBDEB和△和△DFCDFC中，中，∠∠BDEBDE＝∠＝∠CDFCDF（对顶角相等）（对顶角相等）∠∠DEBDEB＝∠＝∠DFCDFCBEBE＝＝CFCF，，∴△∴△DEB≌△DFCDEB≌△DFC（（AASAAS），），∴∴DEDE＝＝DFDF，，∴∴点点DD在∠在∠BACBAC的平分线上，的平分线上，∴∴ADAD平分∠平分∠BACBAC..本课时学习了用尺规作一个角的平分线的方法、角的平分线的性质定理和角的平分线的判定定理以及应用.
