等边三角形一、知识梳理/提炼1.等边三角形的定义：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.2.等边三角形的性质：（1）等边三角形的内角都相等，且均为60°。（2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）（3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或对角的平分线所在的直线。（4）等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）3.等边三角形的判定（1）三边相等的三角形是等边三角形（定义）（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形二、课堂精讲例题例题1题目：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；?③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；?④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④-解题思路：等边三角形是特殊的等腰三角形，故它具备了等腰三角形的一切性质。但又因为等边三角形是特殊的等腰三角形，故等边三角形所拥有的一些性质是等腰三角形所不具有的。解法与答案：D题目：若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60o，那么这个三角形一定为（）A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D钝角三角形-解析：这道题考查了等边三角形的判定。答案：A例题2题目：如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF?的形状是（）A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等边三角形实用标准文案精彩文档-EDCABF-选题意图（对应知识点）：等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定。-解题思路：根据题意证得以△ADF≌△BED≌△CFE即可求证．-解法与答案：解： △ABC为等边三角形，且AD=BE=CF∴AF=BD=CE-又 ∠A=∠B=∠C=60°∴△ADF≌△BED≌△CFE-∴DF=ED=EF∴△DEF是一个等边三角形故选A．题目：如图所示，在等边△ABC中，AD=BE=CF,D,E,F不是中点，连结AE,BF,CD.构成一些全等三角形，如果将三个全等三角形组成一组，那么图中全等三角形的组数是（）A.3个B.4个C.5个D.6个-解析：这题是例2的变形，考查的知识点仍然是等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定。答案：C例题3题目：如图，BD为等边△ABC的边AC上的中线，E为BC延长线上一点，且DB=DE，若AB=6cm，则CE=cm．-选题意图（对应知识点）：等边三角形的性质；直角三角形的性质．实用标准文案精彩文档-解题思路：求CE的长，题中给出DB=DE，由角相等可求出CD=CE，所以CE为边长AC的一半．-解法与答案： BD为等边△ABC的边AC上的中线，∴BD⊥AC，- DB=DE，∴∠DBC=∠E=30° ∠ACB=∠E+∠CDE=60°-∴∠CDE=30°∴∠CDE=∠E，即CE=CD=1/2AC=3cm．故填3．-点评：本题考查了等边三角形的性质；要熟练掌握等边三角形的性质，得到∠CDE=30°是正确解答本题的关键．题目：如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．-解析：要证M是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE△为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证．-答案：解：在等边△ABC，且D是AC的中点，-连接BD，且CE=CD，DM⊥BC；所以∠DBC=∠E=30°，-则BD=ED，又DM⊥BC，∴M是BE的中点．例题4题目：在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，（1）请说明DB=DE的理由．（2）若等边△ABC的边长为6cm，求△BDE的面积．实用标准文案精彩文档-选题意图（对应知识点）：等边三角形的性质；三角形的面积；三角形的外角性质；直角三角形的性质．-解题思路：-（1）根据等边三角形三线合一的性质可得BD是∠ABC的角平分线，即可得∠CBD=30°，根据三角形外角性质即可得∠DCE=120°，根据CD=CE，可得∠CDE=∠CED=30°，即可得∠CED=∠CBD=30°，即DB=DE．-（2）过A作AG⊥BC，过D作DF⊥BC，则DF=21AG，根据直角三角形的性质可以求得BE的长，根据BE、DF的长即可计算△BDE的面积．-解法与答案：-解：（1） D是等边△ABC的边AC的中点，-∴BD是∠ABC的角平分线，∠CBD=30°，- ∠DCE=120°，且CD=CE，-∴∠CDE=∠C...
