中档大题保分练(五)(推荐时间：50分钟)1．已知向量m＝(sinx，－1)，n＝(cosx,3)．(1)当m∥n时，求的值；(2)已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，c＝2asin(A＋B)，函数f(x)＝(m＋n)·m，求f的取值范围．解(1)由m∥n，可得3sinx＝－cosx，于是tanx＝－，∴＝＝＝－.(2)在△ABC中，A＋B＝π－C，于是sin(A＋B)＝sinC，由正弦定理知：sinC＝2sinAsinC，∵sinC≠0，∴sinA＝.又△ABC为锐角三角形，∴A＝，于是0(n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列．(1)求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.解(1)∵an＝3n－1(n∈N*)，∴a1＝1，a2＝3，a3＝9，在等差数列{bn}中，∵b1＋b2＋b3＝15，∴b2＝5.又∵a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列，设等差数列{bn}的公差为d，∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2，∵bn>0(n∈N*)，∴舍去d＝－10，取d＝2，∴b1＝3，∴bn＝2n＋1(n∈N*)．(2)由(1)知，Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)·3n，②①－②得－2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)3n＝3＋2×－(2n＋1)3n＝3n－(2n＋1)3n＝－2n·3n，∴Tn＝n·3n.3．甲、乙两人玩猜数字游戏，规则如下：①连续竞猜3次，每次相互独立；②每次竞猜时，先由甲写出一个数字，记为a，再由乙猜甲写的数字，记为b，已知a，b∈{0,1,2,3,4,5}．若|a－b|≤1，则本次竞猜成功；③在3次竞猜中，至少有2次竞猜成功，则两人获奖．(1)求甲乙两人玩此游戏获奖的概率；(2)现从6人组成的代表队中选4人参加此游戏，这6人中仅有2对双胞胎，记选出的4人中含有双胞胎的对数为X，求X的分布列和期望．解(1)记事件A为甲乙两人一次竞猜成功，则P(A)＝＝，则甲乙两人获奖的概率为P＝1－P3(0)－P3(1)＝1－C03－C12＝.(2)由题意可知6人中选取4人，双胞胎的对数X取值为0,1,2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，分布列如下：X012PE(X)＝0×＋1×＋2×＝.4．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝，点D为AC的中点，点E在线段AA1上．(1)当AE∶EA1＝1∶2时，求证：DE⊥BC1；(2)是否存在点E，使二面角D－BE－A等于60°？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由．(1)证明连接DC1，因为ABC－A1B1C1为正三棱柱，所以△ABC为正三角形，又因为D为AC的中点，所以BD⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1＝AC，所以BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥DE.因为AE∶EA1＝1∶2，AB＝2，AA1＝，所以AE＝，AD＝1，所以在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，在Rt△DCC1中，∠C1DC＝60°，所以∠EDC1＝90°，即DE⊥DC1.又BD∩DC1＝D，所以DE⊥平面BDC1，BC1⊂面BDC1，所以DE⊥BC1.(2)解假设存在点E满足条件，设AE＝h.取A1C1的中点D1，连接DD1，则DD1⊥平面ABC，所以DD1⊥AD，DD1⊥BD，分别以DA、DB、DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D－xyz，则A(1,0,0)，B(0，，0)，E(1,0，h)，所以DB＝(0，，0)，DE＝(1,0，h)，AB＝(－1，，0)，AE＝(0,0，h)，设平面DBE的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则，，令z1＝1，得n1＝(－h,0,1)，同理，平面ABE的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则，取y2＝1，∴n2＝(，1,0)．∴cos〈n1，n2〉＝＝cos60°＝.解得h＝<，故存在点E，当AE＝时，二面角D－BE－A等于60°.
