中档题型训练(五)圆的有关计算、证明与探究命题规律圆的有关计算与证明是怀化中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系．命题预测预计2017年怀化中考将以切线的判定与性质、求阴影的面积或弧长综合呈现，也可能设置考查某一个点的形式呈现.与圆有关的性质【例1】(2015黔西南中考)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C.(1)求证：CB∥PD；(2)若BC＝3，sinP＝35，求⊙O的直径．【解析】(1)通过圆周角转换找出一组内错角相等；(2)通过连接直径所对圆周角构造直角三角形，利用三角函数解决直径问题．【学生解答】解：(1) ∠C＝∠P，∠1＝∠C，∴∠1＝∠P，∴CB∥PD；(2)连接AC， AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.又 CD⊥AB，∴BD︵＝BC︵.∴∠P＝∠CAB.∴sin∠CAB＝sin∠P＝35，即BCAB＝35.又 BC＝3，∴AB＝5.∴⊙O的直径为5.1．(2016苏州中考)如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF.(1)证明：∠E＝∠C；(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数；(3)设DE交AB于点G，若DF＝4，cosB＝23，E是AB︵的中点，求EG·ED的值．解：(1)连接AD， AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC. CD＝BD，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C.又 ∠B＝∠E，∴∠E＝∠C；(2) 四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD＝180°－∠E.又 ∠CFD＝180°－∠AFD，∴∠CFD＝∠E＝55°.又 ∠E＝∠C＝55°，∴∠BDF＝∠C＋∠CFD＝110°；(3)连接OE， ∠CFD＝∠E＝∠C，∴FD＝CD＝BD＝4.在Rt△ABD中，cosB＝23，BD＝4，∴AB＝6. E是AB︵的中点，AB是⊙O的直径，∴∠AOE＝90°. AO＝OE＝3，∴AE＝32. E是AB︵的中点，∴∠ADE＝∠EAB，∴△AEG∽△DEA，∴AEEG＝DEAE，即EG·ED＝AE2＝18.圆的切线的性质与判定【例2】(2015雅安中考)如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若BD的弦心距OF＝1，∠ABD＝30°，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)【解析】(1)证∠ODC＝∠ABC＝90°；(2)在Rt△OBF中，∠ABD＝30°，OF＝1，可求得BD的长，∠BOD的度数，又由S阴影＝S扇形OBD－S△BOD，即可求解．【学生解答】解：(1)连接OD， BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°. CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB. OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB.∴∠ODC＝∠ABC＝90°，即OD⊥CD. 点D在⊙O上，∴CD为⊙O的切线；(2)在Rt△OBF中， ∠ABD＝30°，OF＝1，∴∠BOF＝60°，OB＝2，BF＝3. OF⊥BD，∴BD＝2BF＝23，∠BOD＝2∠BOF＝120°.∴S阴影＝S扇形OBD－S△BOD＝120π×22360－12×23×1＝43π－3.2．(2016黄石中考)如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，AD⊥CD.(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．解：(1) AB是⊙O直径，点C在⊙O上，∴∠ACB＝90°. BC＝3，AB＝5，∴AC＝4；(2)连接OC， AC是∠DAB的平分线，∴∠DAC＝∠BAC.又 AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA＝∠CBA.又 OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA， ∠OAC＋∠OBC＝90°，∴∠OCA＋∠ACD＝∠OCD＝90°，∴DC是⊙O的切线．3．(2015临沂中考)如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积．(结果保留π)解：(1) ⊙O切BC于点D，∴OD⊥BC， AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD＝∠ADO， OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠OAD＝∠CAD，即AD平分∠CAB；(2)设EO与AD交于点M，连接ED. ∠BAC＝60°，OA＝OE，∴△AEO是等边三角形，∴AE＝OA，∠AOE＝60°，∴AE＝AO＝OD，又由(1)知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DOM，∠EOD＝60°，∴S△AEM＝S△DMO，∴S阴影＝S扇形EOD＝60π×22360＝2π3.4．(2016白银中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D...
