【步步高】江苏专用2017版高考数学一轮复习平面向量3平面向量的数量积理模板VIP免费

1【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积理1．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积3.平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.(4)cosθ＝a·b|a||b|.(5)|a·b|≤|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.2(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(√)(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(√)(3)在四边形ABCD中，AB→＝DC→且AC→·BD→＝0，则四边形ABCD为矩形．(×)(4)两个向量的夹角的范围是[0，π2]．(×)(5)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(×)(6)(a·b)c＝a(b·c)．(×)1．已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与向量a＋2b的夹角等于________．答案30°解析设向量a与向量a＋2b的夹角为θ. |a＋2b|2＝4＋4＋4a·b＝8＋8cos60°＝12，∴|a＋2b|＝23，a·(a＋2b)＝|a|·|a＋2b|·cosθ＝2×23cosθ＝43cosθ，又a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝4＋4cos60°＝6，∴43cosθ＝6，cosθ＝32， θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°.2．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD→·CD→＝________.答案32a2解析如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°＝a2＋a2－2a·a×－12＝3a2，∴BD＝3a.3∴BD→·CD→＝|BD→||CD→|cos30°＝3a2×32＝32a2.3．已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝13，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________.答案3解析 |a|2＝a·a＝(3e1－2e2)·(3e1－2e2)＝9|e1|2－12e1·e2＋4|e2|2＝9－12×1×1×13＋4＝9.∴|a|＝3.4．已知A，B，C为圆O上的三点，若AO→＝12(AB→＋AC→)，则AB→与AC→的夹角为________．答案90°解析由AO→＝12(AB→＋AC→)可知点O为BC的中点，即BC为圆O的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC＝90°，所以AB→与AC→的夹角为90°.5．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．答案－2解析由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.题型一平面向量数量积的运算例1(1)(2015·四川)设四边形ABCD为平行四边形，|AB→|＝6，|AD→|＝4，若点M，N满足BM→＝3MC→，DN→＝2NC→，则AM→·NM→＝________.(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE→·CB→的值为________；DE→·DC→的最大值为________．答案(1)9(2)11解析(1)AM→＝AB→＋34AD→，NM→＝CM→－CN→＝－14AD→＋13AB→，∴AM→·NM→＝14(4AB→＋3AD→)·112(4AB→－3AD→)＝148(16AB→2－9AD→2)＝148(16×62－9×42)＝9.4(2)方法一以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t∈[0,1]，则DE→＝(t，－1)，CB→＝(0，－1)，所以DE→·CB→＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因为DC→＝(1,0)，所以DE→·DC→＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，故DE→·DC→的最大值为1.方法二由图知，无论E点在哪个位置，DE→在CB→方向上的投影...