【精品】高三数学2.1数学归纳法及其应用举例(第四课时)大纲人教版选修课题§2.1.4研究性课题：杨辉三角(一)教学目标一、教学知识点1.理解二项式定理中二项式系数与组合数的关系.2.理解杨辉三角和二项式系数.3.有关二项式系数的性质(即杨辉三角性质).二、能力训练要求1.会运用杨辉三角中的有关性质证明或求解有关组合数问题.2.具有一定的代数逻辑推理的计算能力、数式变换能力.3.观察问题、概括问题、证明问题的能力.三、德育渗透目标1.培养学生学会提出问题、明确探究方向、体验数学活动的过程.2.培养学生创新精神、探索精神和应用能力,鼓励学生大胆猜想.3.加强对学生的爱国主义教育,激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的精神.教学重点杨辉三角的基本性质的探索和发现是本节课的教学重点.杨辉三角中蕴含着许多有趣的数量关系,它与排列、组合和概率的知识结合起来.事实上,许多重要的数学公式都跟组合数有关,因此,适当记住杨辉三角的一些性质,对于发现某些数学规律是大有帮助的.教学难点杨辉三角中的性质是本节课的教学难点,用数学归纳法证明二项式定理,也是一个难点,由于杨辉三角中有许多有趣的数量关系,究竟有什么样的关系,要利用从特殊到一般的归纳、猜想与证明的方法来突破难点.教学方法建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法.因为杨辉三角中的许多性质不是轻易能发现的,从一般的情况求解显得枯燥无味,而本节也是研究性课题,在教学中采用“特殊→一般”的科学思维方法,让学生讨论研究,从中发现问题,提出问题,最后利用所学的知识解决问题.让每个学生都参与教学的全过程,让他们都是智力参与.这样学生对杨辉三角性质有了主动建构的基础.教具准备实物投影仪(或幻灯机,幻灯片),学生的讨论成果展示.教学过程.Ⅰ课题导入［师］在第十章,我们在学习二项式定理时,已经简单介绍了杨辉三角的问题.(幻灯片或多媒体)早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就记载着类似下面的表：图2－3这个表称为杨辉三角,在《详解九章算法》一书里,还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和,杨辉指出这个方法出于《释锁》算书,且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它,这表明我国发现这个表不晚于11世纪,在欧洲,这个表被认为是法国数学家帕斯卡(BlaisePascal,1623年~1662年)首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角,这就是说,杨辉三角的发现是比欧洲早五百年左右,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.(这段文字由学生齐读,目的在于让他们了解中华民族文化的辉煌,激励他们立志为中华民族的伟大复兴而读书)［师］鉴于杨辉在数学上的伟大贡献,今天我们特此专门来研究杨辉三角的有关数量关系.(板书课题,研究性课题：杨辉三角).Ⅱ讲授新课［师］一般的杨辉三角如下：(打出幻灯片,或多媒体课件)第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561……第n-1行1……1第n行1……1……其中.［师］在学习二项式定理时,我们知道,杨辉三角的第n行就是二项式(a+b)n展开式的系数,请同学们回顾一下,二项式定理的内容是什么？［生1］(a+b)n=an+an-1b1+an-2b2+…+an-rbr+…+bn.［师］你们能证明这个定理吗？［生1］利用定义证明：(a+b)n=(a+b)·(a+b)·(a+b)·…·(a+b)(n个括号).等号右边的积的展开式的每一项,是从每个括号里任取一个字母的乘积,因而各项都是n次式,即展开式应有下面形式的各项.an,an-1b,an-2b2,…,an-rbr,…,bn.现在来看一看上面各项在展开式中出现的次数,也就是看展开式中各项的系数是什么,在上面n个括号中：每个都不取b的情况有1种,即种,所以an的系数为;恰有1个取b的情况有种,所以an-1·b的系数为;恰有2个取b的情况有种,所以an-2·b2的系数为;……恰有(n-1)个取b的情况有种,所以abn-1的系数为;n个都取b的情况有种,所以bn的系数为.因此,(a+b)n=an+an-1b+an-2·b2+…+an-rbr+…+bn.［师］这种定义法证明固然是好,但不能代表更广泛的意义.你们能用其他方法给予证明吗？［生2］用数学归纳法证明:(1)n=1时,左边=(a+b)1=a+b,展开式的系数为1,1,而右边=a+b=a+b,∴左边=右边.∴n=1时等式成立...
