第2课时系统题型——解三角形及应用举例三角形基本量的求解问题1．(2018·天津期末)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinC＝sin2B，且b＝2，c＝，则a等于()A.B.C．2D．2解析：选C由sinC＝sin2B＝2sinBcosB及正、余弦定理得c＝2b·，代入数据得(2a＋1)(a－2)＝0，解得a＝2，或a＝－(舍去)，故选C.2．(2018·天津实验中学期中)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝()A.B.C.D.解析：选B 3sinA＝5sinB，∴由正弦定理可得3a＝5b，即a＝b. b＋c＝2a，∴c＝b，∴cosC＝＝＝－＝－. C∈(0，π)，∴C＝.故选B.3．(2018·北京高考)在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝－.(1)求∠A；(2)求AC边上的高．解：(1)在△ABC中，因为cosB＝－，所以sinB＝＝.由正弦定理得sinA＝＝.由题设知<∠B<π，所以0<∠A<.所以∠A＝.(2)在△ABC中，因为sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝，所以AC边上的高为asinC＝7×＝.用正、余弦定理求解三角形基本量的方法三角形形状的判断问题1．(2019·湖南师大附中月考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若＝，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形1C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D由已知＝＝＝，∴＝或＝0，即C＝90°或＝.由正弦定理，得＝，∴＝，即sinCcosC＝sinBcosB，即sin2C＝sin2B， B，C均为△ABC的内角，∴2C＝2B或2C＋2B＝180°，∴B＝C或B＋C＝90°，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D.2．(2018·重庆六校联考)在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选A已知等式变形得cosB＋1＝＋1，即cosB＝.由余弦定理得cosB＝，代入得＝，整理得b2＋a2＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形解析：选C ＝，∴＝，∴b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝＝. A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC是等边三角形．判定三角形形状的2种常用途径角化边利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断边化角通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断三角形面积问题[典例](2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinA＋cosA＝0，a＝2，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．[解](1)由已知可得tanA＝－，所以A＝.在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos，即c2＋2c－24＝0.解得c＝4(负值舍去)．(2)法一：由题可得∠BAD＝，由余弦定理可得cosC＝，∴CD＝，∴AD＝，∴S△ABD＝×4××sin∠DAB＝.法二：由题设可得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.故△ABD的面积与△ACD的面积的比值为＝1.又△ABC的面积为×4×2×sin＝2，所以△ABD的面积为.[方法技巧]求解与三角形面积有关的问题的步骤2[针对训练]1．(2019·德化一中、永安一中、漳平一中三校联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若＝，A＝，b＝1，则△ABC的面积为()A.B.C.D.解析：选B由正弦定理可得＝＝＝，又A＝，b＝1，则a＝1，B＝，所以△ABC是边长为1的正三角形，所以△ABC的面积为×12×＝.2．(2019·长沙、南昌高三第一次联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinB＝asinA＋(c－a)·sinC.(1)求B；(2)若3sinC＝2sinA，且△ABC的面积为6，求b.解：(1)由bsinB＝asinA＋(c－a)sinC及正弦定理，得b2＝a2＋(c－a)c，即a2＋c2－b2＝ac.由余弦定理，得cosB＝＝＝.因为B∈(0，π)，所以B＝.(2)由(1)得B＝，所以△ABC的面积为acsinB＝ac＝6，得ac＝24.由3sinC＝2sinA及正弦定理，得3c＝2a，所以a＝6，c＝4.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝36＋16－24＝28，所以b＝2.正、余弦定理在平面几何中的应用在平面几何图形中考查正弦定理、余弦定理是近几年高考的热点，解决这类...
