平面向量讲义VIP专享VIP免费

向量预习1．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________.2．若a，b都是单位向量，则|a－b|的取值范围是________．3.如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则CD＝________(用BC、BA表示)．4．e1，e2是平面内两个不共线的向量，已知AB＝e1－ke2，CB＝2e1＋e2，CD＝3e1－e2.若A，B，D三点共线，则k的值是________．5．已知O是△ABC的外心，AB＝6，AC＝10，若AO＝x·AB＋y·AC且2x＋10y＝5，则cos∠BAC＝________.6.如图所示，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD＝xAB＋yAC，则x＝________，y＝________.7．在△ABC中，已知向量AB与AC满足(＋)·BC＝0且·＝，则△ABC为________三角形．8、如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则AP·AC＝________.题型：平面向量的概念辨析【例】给出下列命题：①若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；②若a＝b，b＝c，则a＝c；③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；④若a与b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．其中正确命题的序号是________．变式训练判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)若|a|＝|b|，且a与b方向相同，则a＝b；1(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5)若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；(6)若AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(8)任一向量与它的相反向量不相等．平面向量的数量积知识点已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量________叫做a和b的数量积(或内积)，记作________．规定：零向量与任一向量的数量积为________．两个非零向量a与b垂直的充要条件是________，两个非零向量a与b平行的充要条件是________．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_______的乘积．平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝________；(2)非零向量a，b，a⊥b⇔________；(3)当a与b同向时，a·b＝________；当a与b反向时，a·b＝________，a·a＝________，|a|＝________；(4)cosθ＝________；(5)|a·b|________|a||b|.平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝________(交换律)；(2)(λa)·b＝________＝________(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝________.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝________，由此得到(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝________或|a|＝________.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝|AB|＝________.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔________.练习：设a，b，c是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有________(填序号)．①(ab·b)c－(c·ab)b＝0；②|ab|－|b|<|ab－b|；③(b·c)ab－(ab·c)b不与c垂直；2④(3ab＋4b)·(3ab－4b)＝9|ab|2－16|b|2.题型：求两平面向量的数量积的问题【例】在平面四边形ABCD中，点E、F分别是边AD，BC的中点，且AB＝2，EF＝，CD＝.若AC·BD＝13，则AD·BC的值为________．变式训练(1)如图，A，B，C是直线l上三点，P是直线l外一点，若AB＝BC＝a，∠APB＝90°，∠BPC＝45°，则PA·PC＝________.(用a表示)(2)如图，在菱形ABCD中，若AC＝4，则CA·AB＝________.(3)在面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则PC·PB＋BC2的最小值是________．题型：与向量相关的最值问题【例】(1)设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于________．(2)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为______．变式训练(1)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA＋3PB|的最小值为________．(2)在△ABC中，BC＝6，BC边上的高为2，则AB·AC的最小值为________．(3)在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点Q在BC边上，且BQ＝，点P在矩形内(含边界)，则AP·AQ的最大值为________．题...