第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式基础知识整合1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：□sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：□tanα＝.2．六组诱导公式1．同角三角函数基本关系式的常用变形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2；(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα.2．诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．1．(2019·成都一诊)cos(－1560°)的值为()A．－B．－C.D.答案B解析cos(－1560°)＝cos(－5×360°＋240°)＝cos240°＝cos(180°＋60°)＝－cos60°＝－.2．(2019·陕西咸阳模拟)若cosα＝，α∈，则tanα等于()A．－B.C．－2D．2答案C解析由已知得sinα＝－＝－＝－，所以tanα＝＝－2，选C.3．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ等于()A．－B．－C.D.答案D解析 sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，∴－sinθ＝－cosθ，∴tanθ＝. |θ|＜，∴θ＝.4．已知α是第二象限的角，tanα＝－，则cosα＝________.答案－解析因为α是第二象限的角，所以sinα>0，cosα<0，由tanα＝－，得sinα＝－cosα，代入sin2α＋cos2α＝1中，cos2α＝1，所以cosα＝－.5．(2019·衡阳模拟)已知sinθ＝，则＝________.答案解析原式＝＝＝＝＝.6．(2018·桂林模拟)若sin＝，则cos＝________.答案－解析cos＝cos＝sin＝－sin＝－.核心考向突破考向一三角函数的诱导公式例1(1)化简的值为________．答案－tanα解析原式＝＝－tanα.(2)已知cos(75°＋α)＝，α是第三象限角，则sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值为________．答案－解析因为cos(75°＋α)＝>0，α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角，sin(75°＋α)＝－＝－.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°)＝sin[180°＋(15°－α)]＋cos(15°－α)＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α)＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α)＝－－＝－.触类旁通利用诱导公式化简求值的思路(1)给角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．2在对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式来将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限，防止搞错三角函数名称及符号.即时训练1.(2019·江西宜春中学诊断)若α为锐角，且cos＝，则cos的值为()A.B.C.D.答案A解析 0<α<，∴<α＋<，∴sin＝＝，∴cos＝cos＝sin＝.故选A.2．(2019·淮北模拟)sin·cos·tan的值是________．答案－解析原式＝sin·cos·tan＝··＝××(－)＝－.考向二同角三角函数的基本关系角度\s\up7()切弦互化例2(1)已知tan(α－π)＝，且α∈，则sin＝()A.B．－C.D．－答案B解析由tan(α－π)＝⇒tanα＝.又因为α∈，所以α为第三象限的角，sin＝cosα＝－.(2)已知2tanα·sinα＝3，－＜α＜0，则sinα的值为()A.B．－C.D．－答案B解析因为2tanα·sinα＝3，所以＝3，所以2sin2α＝3cosα，即2－2cos2α＝3cosα，所以cosα＝或cosα＝－2(舍去)，又－＜α＜0，所以sinα＝－.触类旁通同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值，主要利用商数关系tanα＝和平方关系1＝sin2α＋cos2α.即时训练3.(2019·梅州模拟)已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sinα等于()A.B.C.D.答案B解析因为tan(π－α)＋3＝0，所以tanα＝3，sinα＝3cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝.又α为锐角，故sinα＝.故选B.4．(2019·山东枣庄调研)已知α是第二象限角，cos＝，则tanα＝________.答案－解析 cos＝，∴sinα＝，又α为第二象限角，∴cosα＝－＝－，∴tanα＝＝－.角度\s\up7()“1”的变换例3(2019·沧州七校联考)已知＝5，则sin2α－sinαcosα的值是()A.B．－C．－2D．2答案A解析由＝5，得＝5，即tanα＝2.所以sin2α－sinαcosα＝＝＝.触类旁通对于含有sin2x，cos2x，sinxcosx的三角函数求值题，一般可以考虑添加分母1，再将1用“sin2x＋cos2x”代替，然后用分子分母同除以角的...
