高三期中理科试题1．2．四3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．解：（1） ,，，∴．…………………………………………………………2分∴，即，，∴，………………………………………………………………4分又，∴.又，∴.…………………………………………………………6分（2）…………………10分 ,∴，.……………………………………12分∴∴的取值范围是.………………………………………14分16．证明：（1） 三棱柱的侧棱垂直于底面，∴面．∴． 在三棱柱中，，∴，．…………………………………………………2分 ，面，面，∴面． 面，高三期中理科第1页共7页∴．……………………………………………………………………5分（2）取的中点，连结，． 点，分别是，的中点，∴，且．在三棱柱中，是的中点，∴，且．∴，且，∴四边形是平行四边形．∴．……………………………8分 面，面，∴平面．…………………10分解：（3）以点为空间直角坐标系原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由题，，，，，．设是平面的法向量，则，即，取，则是平面的一个法向量．…………………………………12分由题，面，故是平面的一个法向量．∴．由图可知，二面角的余弦值为．………………………………14分17．解：（1）由可得，，高三期中理科第2页共7页C1A1MB1ACNB（第16题（2）图）DzyxBDC1A1MB1ACN（第16题（3）图）．因为等差数列的公差，故，即，解得．………………………………………………3分所以首项．所以．………………………………………………………5分（2）由（1）知，故．故．…………………………………………8分所以．………………………………………11分从而，即，解得或．……………………………………………………13分因为，所以，即的最小值为．……………………………………………………15分18．解：（1）据题意可知，．………………………………………3分所以，，定义域为．…………………………………5分（2）令，则，．故，……………………7分记，．由可知，二次函数开口向下，对称轴．①当时，即时，二次函数在上递增，在上递减，故当时，，即当时，；…………………………………………………………10分②当时，即时，二次函数在上递增，故高三期中理科第3页共7页当时，，即当时，．………………………13分综上所述，当时，全部投资乙种商品万元时，所得总利润最高，最高值为万元；当时，投资甲种商品万元，乙种商品万元时，所得总利润最高，最高值为万元；………………………………………………………………15分19．解：（1）当时，，定义域为．，令，可得．……………………………………2分列表：－0＋单调递减极小值单调递增所以，函数的最小值为．………………………………………4分（2）①由题意可知，导函数在上有两个不同的零点，．即在上有两个不同的零点，．记，，，（ⅰ）当时，，在上单调递增，故在上至多有一个零点，不符题意；………………………………………6分（ⅱ）当时，令，可得，列表：＋0－单调递增极大值单调递减所以，当时，取最大值．要使得在上有两个不同的零点，，则，高三期中理科第4页共7页即，，，．…………9分综上（ⅰ）（ⅱ），实数的取值范围是．………………………10分②由题意，．（*）由①可知，在上有两个不同的零点，，即；①，②将①式两边同乘以得；③将②式两边同乘以得；④将③式－④式得，，代入（*）式，得．………………………………………………………………………………13分又，所以，即．将①式＋②式得，．所以，即，故，所以．………………16分20．解：（1）由题意，，，．∴，即数列为常数数列．………………………………2分高三期中理科第5页共7页又 ，∴，即．①……………………………3分∴．②②①得，，即．∴数列是首项为，公比为的等比数列，．……………5分∴，． 数列为等差数列，∴．……………………………………………………………………………7分（2）由（1）可得，． 当时，，∴数列从第项开始依次递减．………………………………………………8分假设存在正整数，，（），使得，，...
