第3讲三角函数的图象与性质基础知识整合正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质1．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期T＝，函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.2．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．3．三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．1．函数y＝tan的定义域是()答案D解析y＝tan＝－tan，由x－≠＋kπ，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z.故选D.2．(2019·长沙模拟)函数y＝sin，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是()A.B.和C.D.答案C解析令z＝x＋，函数y＝sinz的单调递增区间为(k∈Z)，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋得4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)，而x∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是.故选C.3．(2019·衡水中学调研)函数f(x)＝sin在区间上的最小值为()A．－1B．－C.D．0答案B解析由已知x∈，得2x－∈，所以sin∈，故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.4．(2019·柳州摸底)设函数f(x)＝sin，则下列结论错误的是()A．f(x)的周期为πB．f(x)的图象关于点对称C．f(x)在上是增函数D．f(x)的图象关于直线x＝－对称答案C解析T＝＝π，A正确；x＝时，2x－＝0，f＝sin0＝0，B正确；由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，∴f(x)在上是增函数，在上单调递减，C错误；x＝－时，2x－＝－，∴f＝－1，D正确．故选C.5．函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________.答案5＋2kπ(k∈Z)解析函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)．核心考向突破考向一三角函数的定义域例1(1)(2019·烟台模拟)函数y＝的定义域为()A.B.(k∈Z)C.(k∈Z)D．R答案C解析 cosx－≥0，得cosx≥，∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.(2)(2019·江苏模拟)函数y＝lgsin2x＋的定义域为________．答案∪解析由得∴－3≤x＜－或0＜x＜.∴函数y＝lgsin2x＋的定义域为∪.触类旁通2求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴.3对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式组分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集.即时训练1.函数y＝的定义域为()A.B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)答案B解析由2sinx－1≥0，得sinx≥，所以2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)．2．函数y＝lg(sinx－cosx)的定义域是________．答案x解析要使函数有意义，必须使sinx－cosx>0.解法一：利用图象．在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示：在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为，，在内sinx>cosx，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为x.解法二：利用三角函数线．如图，MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinx>cosx，只须0，由正弦函数y＝sinx的图象和性质可知2kπ
