4.7三角函数的综合应用一、明确复习目标1.掌握三角函数的图象、性质和恒等变形，会用反三角函数表示角；2．掌握正、余弦定理解斜三角形的方法；3．能解决三角函数与几何、向量综合的题目,能用三角知识解决简单的实际问题。二．建构知识网络1.三角函数的性质和图象变换;2.三角函数的化简,求值,证明——恒等变形的策略与技巧.3.正、余弦定理,斜三角形的可解类型;在应用题中要能抽象或构造出三角形;4．在应用与综合性题目中,当角不是特殊角,要“用反三角函数表示角”:(1)(2)arccosa表示[0，π]上余弦值等于a的角,a∈[－1,1];(3)(4)对于不是上述范围内的角,可借助诱导公式和三角函数线,找出与上述反三角的关系进而求出.例如:sinα=0.3,α是钝角,则α=π－arcsin0.3.三、双基题目练练手1.已知，则x等于（）2.若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB－sinA，sinB－cosA）在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3．的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则(）A．和都是锐角三角形B．和都是钝角三角形C．是钝角三角形，是锐角三角形D．是锐角三角形，是钝角三角形4.如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为A.75°B.60°C.50°D.45°5．（2003上海）若x=是方程2cos（x+α）=1的解，其中α∈（0，2π），则α=_________.ACDB阳光地面6．（2004北京西城二模）函数y=sinx(sinx+cosx）（x∈R）的最大值是_______.◆答案:1-4.CBDC;2.A+B＞.∴A＞－B，B＞－A.sin∴A＞cosB，sinB＞cosA.,P在第二象限.3.sinA2=cosA1,……A1、B1、C1是锐角。如果A2、B2、C2也是锐角，则，矛盾，故选D。4.作CE⊥平面ABD于E，则∠CDE=40°,延长DE交直线AB于F，则∠CFD是遮阳棚与地面所成的角，在△CFD中，=.∴DF=.当α=50°时，DF最大.答案：C;5.;6.最大值为1+=.四、经典例题做一做【例1】求角(用反三角函数表示):(1)已知tanx=3,x[0.2π]∈求x的值;(2)已知cos2α=,α(0,∈),sinβ=-,β(π,∈)求α+β.解：(1)在上,时,tanx=3;在上,,∴x=arctan3或π+arctan3.(2)由;得sinα=,从而cosα=,且cosβ=-又α+β(π,2π)∈cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-.α+βπ=∴即α+β=2π-arccos◆提炼方法：求角先求三角函数值,求什么三角函数值要先看角的范围,如本题(2)应求余弦而不能求正弦.角不在主值区间时,要借助图象、三角函数线或诱导公式写出符合条件的角。【例2】（2007启东质检）已知A、B、C是三内角，向量，且，（1）求角A；（2）若，求解:（1） ∴，即, ，∴，∴（2）由题知，整理得∴，∴，∴或而使，舍去，∴∴【例3】在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭。解法一:设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km)若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则由余弦定理知由于PO=300,PQ=20t故因此解得解法二:如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向.在时刻：t（h）台风中心的坐标为此时台风侵袭的区域是，其中t+60，若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有即即，解得.答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭◆提炼方法：实际应用问题，要从中找出题中的三角形和已知的边角等条件，再设计出合理的解题方案。【例4】已知函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.⑴求函数的表达式;⑵证明当时，经过函数图象上任意两点的直线的斜率恒大于零.解：（I）（II）证明一：依题意，只需证明函数g(x)当时是增函数在即的每一个区间上是增函数当时，在是增函数,则当时，经过函数g(x)图像上任意两点的直线的斜率恒大于零【研讨.欣赏】某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB，现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10km，问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?并求其最...
