第2讲圆锥曲线的定义、方程及性质[做小题——激活思维]1．椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则△F1AB的周长为()A．12B．16C．20D．24C[△F1AB的周长为|F1A|＋|F1B|＋|AB|＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B|＋|F2B|＝2a＋2a＝4a.在椭圆＋＝1中，a2＝25，a＝5，∴△F1AB的周长为4a＝20，故选C.]2．已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线D[由已知得|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．]3．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.17[由题意知|PF1|＝9＜a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.]4．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e＝，则实数k的值是________．或[当k＞4时，有e＝＝，解得k＝；当0＜k＜4时，有e＝＝，解得k＝.故实数k的值为或.]5．双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.5[ 双曲线的标准方程为－＝1(a＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴a＝5.]6．抛物线8x2＋y＝0的焦点坐标为________．[由8x2＋y＝0，得x2＝－y.∴2p＝，p＝，∴焦点为.][扣要点——查缺补漏]1．圆锥曲线的定义及标准方程(1)应用圆锥曲线的定义解题时，一定不要忽视定义中的隐含条件，如T3.(2)凡涉及椭圆或双曲线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到焦点距离，一般可以利用定义进行转化．如T1，T2.(3)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”．2．圆锥曲线的几何性质(1)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，如T4.(2)要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．圆锥曲线的定义与标准方程(5年4考)[高考解读]高考对圆锥曲线的定义及标准方程的直接考查较少，多对于圆锥曲线的性质进行综合考查.1．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1切入点：|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|.关键点：挖掘隐含条件，确定点A的位置，求a，b的值．B[设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由椭圆定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a. |AB|＝|BF1|，∴|AF1|＋2|AB|＝4a.又|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.又 |AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF2|＝a，∴A为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A(0，b)，又F2(1,0)，AF2＝2F2B，∴B.将B点坐标代入椭圆方程＋＝1，得＋＝1，∴a2＝3，b2＝a2－c2＝2.∴椭圆C的方程为＋＝1.故选B.]2．(2015·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．切入点：△APF的周长最小．关键点：根据双曲线的定义及△APF周长最小，确定P点坐标．12[由双曲线方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3,0)，F1(－3，0)．当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.因为|AF|＝＝15为定值，所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF1的方程为y＝2x＋6，由得y2＋6y－96＝0，解得y＝2或y＝－8(舍去)，所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F＝×6×6－×6×2＝12.][教师备选题]1．[一题多解](2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．－y2＝1[法一： 双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)． 双曲线过点(4，)，∴λ＝16－4×()2＝4，∴双曲线的标准方程为－y2＝1.法二： 渐近线y＝x过点(4,2)，而<2，∴点(4，)在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为－＝1(a>...
