含绝对值不等式的解法VIP免费

学科：数学教学内容：含绝对值不等式的解法【自学导引】1．绝对值的意义是：.2．｜x｜＜a(a＞0)的解集是｛x｜－a＜x＜a｝．｜x｜＞a(a＞0)的解集是｛x｜x＜－a或x＞a｝．【思考导学】1．|ax＋b|＜b(b＞0)转化成－b＜ax＋b＜b的根据是什么？答：含绝对值的不等式|ax＋b|＜b转化－b＜ax＋b＜b的根据是由绝对值的意义确定．2．解含有绝对值符号的不等式的基本思想是什么？答：解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法就与解一般不等式或不等式组相同．【典例剖析】［例1］解不等式2＜｜2x－5｜≤7．解法一：原不等式等价于∴即∴原不等式的解集为｛x｜－1≤x＜或＜x≤6｝解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集(Ⅰ)(Ⅱ)不等式组(Ⅰ)的解集为｛x｜＜x≤6｝不等式组(Ⅱ)的解集是｛x｜－1≤x＜｝∴原不等式的解集是｛x｜－1≤x＜或＜x≤6｝解法三：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集．(Ⅰ)2＜2x－5≤7(Ⅱ)2＜5－2x≤7不等式(Ⅰ)的解集为｛x｜＜x≤6｝不等式(Ⅱ)的解集是｛x｜－1≤x＜｝∴原不等式的解集是｛x｜－1≤x＜或＜x≤6｝．点评：含绝对值的双向不等式的解法，关键是去绝对值号．其方法一是转化为单向不等式组如解法一，再就是利用绝对值的定义如解法二、解法三．［例2］解关于x的不等式：(1)｜2x＋3｜－1＜a(a∈R)；(2)｜2x＋1｜＞x＋1．解：(1)原不等式可化为｜2x＋3｜＜a＋1当a＋1＞0，即a＞－1时，由原不等式得－(a＋1)＜2x＋3＜a＋1－＜x＜当a＋1≤0,即a≤－1时，原不等式的解集为，综上，当a＞－1时，原不等式的解集是｛x｜－＜x＜当a≤－1时，原不等式的解集是．(2)原不等式可化为下面两个不等式组来解(Ⅰ)或(Ⅱ)不等式组(Ⅰ)的解为x＞0不等式组(Ⅱ)的解为x＜－∴原不等式的解集为｛x｜x＜－或x＞0｝点评：由于无论x取何值，关于x的代数式的绝对值均大于或等于0，即不可能小于0，故｜f(x)｜＜a(a≤0)的解集为．解不等式分情况讨论时，一定要注意是对参数分类还是对变量分类，对参数分类的解集一般不合并，如(1)对变量分类，解集必须合并如(2)．［例3］解不等式|x－|2x＋1||＞1．解： 由|x－|2x＋1||＞1等价于(x－|2x＋1|)＞1或x－|2x＋1|＜－1(1)由x－|2x＋1|＞1得|2x＋1|＜x－1∴即均无解(2)由x－|2x＋1|＜－1得|2x＋1|＞x＋1∴或即，∴x＞0或x＜－综上讨论，原不等式的解集为{x|x＜－或x＞0}．点评：这是含多重绝对值符号的不等式，可以从“外”向“里”，反复应用解答绝对值基本不等式类型的方法，去掉绝对值的符号，逐次化解．【随堂训练】1．不等式|8－3x|＞0的解集是()A．B．RC．{x|x≠，x∈R}D．{}答案：C2．下列不等式中，解集为R的是()A．｜x＋2｜＞1B．｜x＋2｜＋1＞1C．(x－78)2＞－1D．(x＋78)2－1＞0答案：C3．在数轴上与原点距离不大于2的点的坐标的集合是()A．｛x｜－2＜x＜2B．｛x｜0＜x≤2C．｛x｜－2≤x≤2｝D．｛x｜x≥2或x≤－2｝解析：所求点的集合即不等式｜x｜≤2的解集．答案：C4．不等式｜1－2x｜＜3的解集是()A．｛x｜x＜1B．｛x｜－1＜x＜2C．｛x｜x＞2｝D．｛x｜x＜－1或x＞2｝解析：由｜1－2x｜＜3得－3＜2x－1＜3，∴－1＜x＜2答案：B5．不等式｜x＋4｜＞9的解集是__________．解析：由原不等式得x＋4＞9或x＋4＜－9，∴x＞5或x＜－13答案：｛x｜x＞5或x＜－136．当a＞0时，关于x的不等式｜b－ax｜＜a的解集是________．解析：由原不等式得｜ax－b｜＜a，∴－a＜ax－b＜a∴－1＜x＜＋1∴｛x｜－1＜x＜＋1答案：｛x｜－1＜x＜＋1｝【强化训练】1．不等式｜x＋a｜＜1的解集是()A．｛x｜－1＋a＜x＜1＋aB．｛x｜－1－a＜x＜1－aC．｛x｜－1－｜a｜＜x＜1－｜a｜D．｛x｜x＜－1－｜a｜或x＞1－｜a｜｝解析：由｜x＋a｜＜1得－1＜x＋a＜1∴－1－a＜x＜1－a答案：B2．不等式1≤｜x－3｜≤6的解集是()A．｛x｜－3≤x≤2或4≤x≤9｝B．｛x｜－3≤x≤9｝C．｛x｜－1≤x≤2｝D．｛x｜4≤x≤9｝解析：不等式等价于或解得：4≤x≤9或－3≤x≤2．答案：A3．下列不等式中，解集为｛x｜x＜1或x＞3｝的不等式是()A．｜x－2｜＞5B．｜2x－4｜＞3C．1－｜－1｜≤D...