8.5圆锥曲线综合应用一、明确复习目标1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,理解椭圆的参数方程2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质4.了解圆锥曲线的初步应用,掌握处理圆锥曲线综合问题的常用方法.二.建构知识网络解析几何是以数来研究形的学科,就是数形结合的学科;解析法就是通过坐标、方程所反映的数量间的关系和特征,来研究图形的几何性质。圆锥曲线的综合问题包括:解析法的应用,数形结合的思想,与圆锥曲线有关的定值、最值等问题;有圆锥曲线科内综合,还有与代数、三角、几何、向量等学科间的综合。复习中应注意掌握解析几何的常用方法,如求曲线方程的方法、研究位置关系的方法、求范围与最值的方法等,通过问题的解决,进一步培养函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想。三、双基题目练练手1.(2005北京)设,“”是“曲线为椭圆”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件2.已知双曲线的两个焦点是椭圆的两个顶点,双曲线的两条准线经过椭圆的两个焦点,则此双曲线的方程是()A.B.C.D.3.(2006江苏)已知两点M(-2,0)、N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为()(A)(B)(C)(D)4.(2006江西)为双曲线的右支上一点,、分别是圆上的点,则的最大值为()A.6B.7C.8D.95.(2005山东)设直线关于原点对称的直线为,若与椭圆的交点为A、B,点为椭圆上的动点,则使的面积为的点的个数为______.6.直线l过点M(1,1),与椭圆+=1相交于A、B两点,若AB的中点为M,则直线l的方程是________.简答:1-4.BCBD;4.设左焦点为F1,右焦点为F2,由双曲线定义和三角形边的关系得:,选D5.2;6.+=1,+=1.相减得∴=-·.又 M为AB中点,x1+x2=2,y1+y2=2.∴直线l的斜率为-.得直线l的方程为3x+4y-7=0.四、经典例题做一做【例1】(2006福建)已知椭圆的左焦点为F,O为坐标原点。(I)求过点O、F,并且与椭圆的左准线相切的圆的方程;(II)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,线段AB的垂直平分线与轴交于点G,求点G横坐标的取值范围。解:(I)圆过点O、F,圆心M在直线上。设则圆半径由得解得所求圆的方程为(II)设直线AB的方程为代入整理得直线AB过椭圆的左焦点F,方程有两个不等实根。记中点则的垂直平分线NG的方程为令得点G横坐标的取值范围为【例2】(2006天津)如图,以椭圆的中心为圆心,分别以和为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点作垂直于轴的直线交大圆于第一象限内的点.连结交小圆于点.设直线是小圆的切线.xylGABFO(1)证明,并求直线与轴的交点的坐标;(2)设直线交椭圆于、两点,证明.(Ⅰ)证明:由题设条件知,∽故,即因此,①解:在中.于是,直线OA的斜率.设直线BF的斜率为,则.这时,直线BF与轴的交点为(Ⅱ)证明:由(Ⅰ),得直线BF得方程为且②由已知,设、,则它们的坐标满足方程组③由方程组③消去,并整理得④由式①、②和④,由方程组③消去,并整理得⑤由式②和⑤,综上,得到注意到,得【例3】A、B、C是我方三个炮兵阵地,A在B正东6km,C在B正北偏西30°,相距4km,P为敌炮阵地,某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号,由于B、C两地比A距P地远,因此4s后,B、C才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1km/s,A若炮击P地,求炮击的方位角.解:如下图,以直线BA为x轴,线段BA的中垂线为y轴建立坐标系,则B(-3,0)、A(3,0)、C(-5,2).因为|PB|=|PC|,所以点P在线段BC的垂直平分线上.因为kBC=-,BC中点D(-4,),PCyxABDO所以直线PD的方程为y-=(x+4)①又|PB|-|PA|=4,故P在以A、B为焦点的双曲线右支上.设P(x,y),则双曲线方程为-=1(x≥0)②联立①②,得x=8,y=5,所以P(8,5).因此kPA==.故炮击的方位角为北偏东30°.【例4】(2006春上海)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图:航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以轴为...