8．5圆锥曲线综合应用一、明确复习目标1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质4．了解圆锥曲线的初步应用，掌握处理圆锥曲线综合问题的常用方法．二．建构知识网络解析几何是以数来研究形的学科，就是数形结合的学科；解析法就是通过坐标、方程所反映的数量间的关系和特征，来研究图形的几何性质。圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，数形结合的思想，与圆锥曲线有关的定值、最值等问题；有圆锥曲线科内综合，还有与代数、三角、几何、向量等学科间的综合。复习中应注意掌握解析几何的常用方法，如求曲线方程的方法、研究位置关系的方法、求范围与最值的方法等，通过问题的解决，进一步培养函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想。三、双基题目练练手1．(2005北京)设，“”是“曲线为椭圆”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件2．已知双曲线的两个焦点是椭圆的两个顶点，双曲线的两条准线经过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是()A．B．C．D．3．(2006江苏)已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足＝0，则动点P（x，y）的轨迹方程为（）（A）（B）（C）（D）4．（2006江西）为双曲线的右支上一点,、分别是圆上的点,则的最大值为（）A．6B．7C．8D．95．(2005山东)设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为______．6．直线l过点M（1，1），与椭圆+=1相交于A、B两点，若AB的中点为M，则直线l的方程是________．简答：1-４．BCBD；４．设左焦点为F1，右焦点为F2，由双曲线定义和三角形边的关系得：，选D５．２；６．+=1，+=1．相减得∴=－·．又 M为AB中点，x1+x2=2，y1+y2=2．∴直线l的斜率为－．得直线l的方程为3x+4y－7=0．四、经典例题做一做【例1】(2006福建)已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。解：（I）圆过点O、F，圆心M在直线上。设则圆半径由得解得所求圆的方程为（II）设直线AB的方程为代入整理得直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。记中点则的垂直平分线NG的方程为令得点G横坐标的取值范围为【例2】(2006天津)如图，以椭圆的中心为圆心，分别以和为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点作垂直于轴的直线交大圆于第一象限内的点．连结交小圆于点．设直线是小圆的切线．xylGABFO（1）证明，并求直线与轴的交点的坐标；（2）设直线交椭圆于、两点，证明．（Ⅰ）证明：由题设条件知，∽故，即因此，①解：在中．于是，直线OA的斜率．设直线BF的斜率为，则．这时，直线BF与轴的交点为(Ⅱ)证明：由（Ⅰ），得直线BF得方程为且②由已知，设、，则它们的坐标满足方程组③由方程组③消去，并整理得④由式①、②和④，由方程组③消去，并整理得⑤由式②和⑤，综上，得到注意到，得【例3】A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6km，C在B正北偏西30°，相距4km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1km/s，A若炮击P地，求炮击的方位角．解：如下图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，则B（－3，0）、A（3，0）、C（－5，2）．因为|PB|=|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上．因为kBC=－，BC中点D（－4，），PCyxABDO所以直线PD的方程为y－=（x+4）①又|PB|－|PA|=4，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上．设P（x，y），则双曲线方程为－=1（x≥0）②联立①②，得x=8，y=5，所以P（8，5）．因此kPA==．故炮击的方位角为北偏东30°．【例4】(2006春上海)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为...
