高三数学文科新课函数对称性与周期性关系一.本周教学内容：函数对称性与周期性关系【典型例题】1.定义在R上的函数，若总有成立，则函数的图象是关于直线成轴对称图形。反之，若函数的图象关于直线成轴对称图形，则必有推论，对于定义在R上的函数，若有，则图象关于直线成轴对称图形，反之亦真。证明：若对，总有，设点，在的图象上，点关于的对称点，由，则点在函数的图象上，由的任意性知的图象关于直线对称，反之证明略。推论，由显然[例1]已知，满足且，当时，比较与的大小。解：由知关于对称，故，又由知，则在递减，在上递增。当时，∴即当时，∴，即[例2]函数的图象关于直线对称，且时，则当时，的解析式为。解：依条件，设，则，故[例3]若的图象关于直线对称，则。A.B.C.D.解：由得即∴[例4]设对任意，满足且方程恰有6个不同的实根，则此六个实根之和为。A.18B.12C.9D.0解：依条件知图象关于直线对称，方程六个根必分布在对称轴两侧，且两两对应以（3，0）点为对称中心，故，所以，选A。[例5]设满足（1），（2）当时，是增函数，定义域，则下列不等式成立的是（）A.B.C.D.解：由条件知图象关于直线成轴对称，又及时递增∴，故选C2.对称性与周期性的关系（1）若函数在R上的图象关于两条直线与对称，则为R上的周期函数。（2）若函数在R上的图象关于直线与点对称，则为R上的周期函数。证：（1）因图象关于及对称，则，，故得证（2）由图象关于对称，有①又由图象关于点对称，有，∴，，即以代有②由①和②③以代有又由③式得证特别地，图象关于直线对称的偶函数必是周期函数推论，定义在R上的函数满足（1）当为偶函数时，是以为一个周期的周期函数。（2）当为奇函数时，是以为一个周期的周期函数。证：（1）（2）[例1]已知定义在实数集R上的函数满足：（1）；（2）；（3）当时，，求时，的解析式。解：由（1）（2）知，对任则，，[例2]已知定义在实数集R上的函数满足：（1）；（2）；（3）当时解析式，求上的解析式。解：设当时，，则当时，，则又为偶函数，知从而另法：当时，，当时，，[例3]函数定义在R上，且对一切满足，，设，问方程在区间中至少有几个实根。解：依条件为函数的周期，，均为的根，因此在区间上至少有二个根 由周期性可知也为的根所以方程在区间中至少有[例4]若偶函数，满足（1）图象关于直线对称，（2）在区间上是减函数，求证以为最小正周期。证：依条件知为函数的周期，假设函数还存在比更小的周期2，且令，则（1）若，则与在上是减函数矛盾（2）若，即时，与在上是减函数矛盾，所以是的最小正周期。[例5]已知是定义在实数集R上的偶函数，是R上的奇函数，又知（1）（是常数）；（2）试求的值。分析：条件（2）即，即关于点对称又由是偶函数，故是以为周期的周期函数解：由条件（2）知，令，则，故，即为以4为周期的周期函数，又由，所以【模拟试题】一.选择题（每小题5分，共50分）1.函数的定义域为A，函数的定义域为B，若，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.2.函数在区间上递减，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.3.已知，且，则满足（）A.B.C.D.4.定义在R上的奇函数为减函数，设，给出下列不等式：（1）（2）（3）（4）其中正确的不等式序号是（）A.（1）（2）（4）B.（1）（4）C.（2）（4）D.（1）（3）5.偶函数在上单调递减，则与的大小关系为（）A.B.C.D.不能确定6.已知定义域为R的函数满足有，且，若，则（）A.2B.4C.D.7.已知定义在R上的偶函数在区间上为增函数，且，则不等式的解集为（）A.B.C.D.8.已知函数是R上的偶函数，且满足，当时，，则（）A.0.5B.1C.1.5D.9.函数是（0，2）上的增函数，函数是偶函数，则下列结论中正确的是（）A.B.C.D.10.设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（）A.B.C.D.二.填空题（每小题4分，共24分）11.定义在R上的函数满足，则。12.已知函数，则。13.设，，且，那么函数的最大值是。14.已知为偶函数，为奇函数，它们的定义域都为，当时，它们的图象如下图，则不等式的解集为。15.已知二次函数，若在区间内至少存在一个实数，使，则实数的取值范围是。16.设函数，给出下列命题：（1）时，...
