第5讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用一、知识梳理1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT＝f＝＝ωx＋φφ2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x－－－ωx＋φ0π2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.三角函数图象变换的两种方法(ω＞0)常用结论1．由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)确定其横坐标．二、习题改编1．(必修4P55练习T2改编)为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin2x的图象()A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度答案：A2．(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：月份x1234收购价格y(元/斤)6765选用一个函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为．解析：设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝，所以ω＝，所以y＝sin＋6.因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sin＋6，结合表中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－，所以y＝sin＋6＝6－cosx.答案：y＝6－cosx一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)把y＝sinx的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sinx.()(2)将y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．()(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.()(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()(5)若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝2kπ＋(k∈Z)．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×二、易错纠偏(1)搞不清ω的值对图象变换的影响；(2)确定不了函数解析式中φ的值．1．若将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，则得到的图象对应的函数表达式为f(x)＝．解析：函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为f(x)＝2sin＝2sin.答案：2sin2．(2020·济南市模拟考试)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)＝．解析：设f(x)的最小正周期为T，根据题图可知，＝，所以T＝π，故ω＝2，根据2sin＝0(增区间上的零点)可知，＋φ＝2kπ，k∈Z，即φ＝2kπ－，k∈Z，又|φ|＜，故φ＝－.所以f(x)＝2sin.答案：2sin五点法作图及图象变换(典例迁移)已知函数f(x)＝sin2x＋2cos2x＋a，其最大值为2.(1)求a的值及f(x)的最小正周期；(2)画出f(x)在[0，π]上的图象．【解】(1)f(x)＝sin2x＋2cos2x＋a＝sin2x＋cos2x＋1＋a＝2sin＋1＋a的最大值为2，所以a＝－1，最小正周期T＝＝π.(2)由(1)知f(x)＝2sin，列表：x0π2x＋π2πf(x)＝2sin120－201画图如下：【迁移探究1】(变结论)在本例条件下，函数y＝2cos2x的图象向右平移个单位得到y＝f(x)的图象．解析：将函数y＝2cos2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝2sin2x的图象，再将y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝2sin(2x＋)的图象，综上可得，函数y＝2sin的图象可以由函数y＝2cos2x的图象向右平移个单位长度得到．答案：【迁移探究2】(变问法)在本例条件下，若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，且y＝g(x)是偶函数，求m的最小值．解：由已知得y＝g(x)＝f(x－m)＝2sin[2(x－m)＋]＝2sin是偶函数，所以2m－＝(2k＋1)，k∈Z，m＝＋，k∈Z，又因为m>0，所以m的最小值为.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法五点法设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象图象变换法由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”[注意]平移变换和伸缩变换都是针对x而...
