数学地研究现实世界的一个范例——高中课程标准实验教科书必修《数学4》（苏教版）教学问答樊亚东（苏州中学园区校215021）问：怎样理解和把握数学必修4全书的整体结构？答：数学（必修4）共有三章内容，第1章“三角函数”，第2章“平面向量”，第3章“三角恒等变换”。各章内容均围绕着对同一个背景进行数学研究的过程而逐层展开，教材结构新颖独特，整体互通，密切相连。全书的整体结构如下：问：能具体地阐述各章节是以怎样的模式而“生成长大”？答：第1章《三角函数》，首先从自然界广泛的周期性现象中聚焦到圆周上一点的运动，这是一个简单又基本的例子，是一个待解剖的“小麻雀”。于是问题自然地提出：用什么样的数学模型来刻画周期性运动？这就明确了任务：建构这样的数学模型，同时也指明了教学起点：对周期性现象的数学（分析）研究；即建构刻画周期性现象的数学模型的（思维）过程。本章定位为“展示建构刻画周期性现象的数学模型的（思维）过程”，作为定位的具体体现，教材有如下鲜明的特点：特点1采用以问题链为线索的呈现方式“生长知识”教材要展示“思维过程”，而思维是从问题开始的，思维的过程就是不断地提出问题，解决问题的过程。教材采用了以问题链展开的呈现方式，在提出问题的环节，问题间的逻辑递进，以及问题对强化目标（建构刻画周期性现象的数学模型）的指向作用等方面进行了精心设计。例如，教材P12在提出：“怎样将锐角三角函数推广到任意角？”之前，还安排了一个问题：“用怎样的数学模型模型建立(x,y)与(r,)之间的关系？”这就是考察锐角三角函数的“理由”。那么，怎么又想到要研究(x,y)与(r,)间的关系的呢？这是因为用(r,)(x,y)都可以表示圆周上的点。那么，为什么要表示圆周上的点呢？这是为了刻画圆周上点的运动。那么为什么要刻画圆周上点的运动呢？这是因为它是周期现象的“一个简单又基本的例子”。为什么要研究周期现象呢？因为我们的任务就是要“建构刻画周期性现象的数学模型。”这里的问题串，揭示了建构数学模型的思维过程，揭示了数学知识间的联系。在问题串的指引下，师生可以真正主动地参与建构数学的活动。特点2以“数学地研究”的一般程序来组织、选取教学内容（1）教材展开的主线如下：用心爱心专心背景（圆周上一点的运动）三角函数点的表示(r,)，(x,y)引导出建构刻画r,,x,y之间关系的数学模型并研究和运用这一模型平面向量点的表示(r,)的延伸导出既有大小(r)又有方向()的“量”，建构刻画这种“量”的数学模型并研究和运用这一模型三角恒等变换圆周运动的延伸，周期运动的叠加问题经过向量方法的解析而引导出两角和与差的三角函数点的表示(r,)，(r,l)，(x,y)（2）教材充分发挥学习“函数”一章的经验在建构“刻画周期性现象的数学模型”中的作用，在结构上尽可能地与“函数”一章相同。（3）为了突出“建构—研究—应用”这一主线，教材对传统的教学内容做了“强干削技”的处理。如，抽出“三角变换”的内容，另立一章；把6种三角函数减为3种，突出了基本的数学思想和数学地研究问题的方法。特点3突出周期性（1）本章的研究对象是周期性现象，建构的是“刻画周期性现象的数学模型”，教材突出了周期性，它是教材的出发点和归属。（2）首先研究“三角函数的周期性”，为此专门列了一节。三角函数的周期性，不是由图象得到的，而是从三角函数的定义，从终边位置周而复始的出现，从诱导公式，即从以前的研究过程中得到的。相反，三角函数周期性的研究为后续图象与性质的研究起了铺垫作用。（3）在正式研究三角函数的性质之前，教科书就从总体上作出了判断：“周而复始的基本性质必然蕴含在三角函数的性质之中”，因为三角函数就是我们为刻划周期运动而建构的数学模型。这样的判断对不对呢？这就促使我们来研究三角函数具有哪些性质？首先什么是“周而复始的基本性质？“这样就提出了本小节的问题：如何用数学语言刻划函数的周期性这样的设计，不仅为三角函数性质的学习提供了问题背景，突出了本章“建立刻画周期性现象的数学模型”这一主题，而且充分地发挥了理性思维的作用。周期函数的定义是学习中的一个难...
