高考数学一轮复习 第7章 立体几何 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质讲义 理（含解析）-人教版高三全册数学教案VIP免费

第5讲直线、平面垂直的判定与性质[考纲解读]掌握线线、线面、面面垂直的判定定理和性质定理，并能应用它们证明有关空间图形的垂直关系的简单命题．(重点、难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考的必考内容．预测2020年将会以以下两种方式进行考查：①以几何体为载体考查线面垂直的判定和性质；②根据垂直关系的性质进行转化．试题以解答题第一问直接考查，难度不大，属中档题型.1．直线与平面垂直判定定理与性质定理2．平面与平面垂直判定定理与性质定理3．直线和平面所成的角(1)定义：一条斜线和它在平面上的□射影所成的□锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)范围：□.4．二面角(1)定义：从一条直线出发的□两个半平面所组成的图形叫做二面角；在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作□垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．(2)范围：□[0，π]．5．必记结论(1)若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(2)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线．(3)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(4)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(5)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直．(6)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．1．概念辨析(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行．()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．小题热身(1)下列命题中不正确的是()A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ答案A解析A错误，如图1所示，在长方体中α⊥β，l∥α，但l⊂β；B正确，设α∩β＝l，则α内与l平行的直线都与β平行；C正确，由面面垂直的判定可知；D正确，如图2所示，在平面α内，作α与γ交线的垂线m，在平面β内作β与γ的交线的垂线n，由α⊥γ得m⊥γ，由β⊥γ得n⊥γ，所以m∥n.可推出m∥β，进而推出m∥l，所以l⊥γ.(2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是()A．与AC，MN均垂直B．与AC垂直，与MN不垂直C．与AC不垂直，与MN垂直D．与AC，MN均不垂直答案A解析由AC⊥平面BB1D1D可得OM⊥AC.设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2a.则OM＝＝a，MN＝＝a.ON＝＝a，所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.(3)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________．答案解析连接A1C1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角．因为AB＝BC＝2，所以A1C1＝AC＝2，又AA1＝1，所以AC1＝3，所以sin∠AC1A1＝＝.(4)已知PD垂直于菱形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有______对．答案4解析由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，由于AC⊥平面PDB，平面PAC⊥平面PDB，共4对．题型直线与平面的位置关系角度1直线与平面所成的角1．(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为()A．8B．6C．8D．8答案C解析在长方体ABCD－A1B1C1D1中，连接BC1，根据线面角的定义可知∠AC1B＝30°，因为AB＝2，＝tan30°，所以BC1＝2，从而求得CC1＝＝2，所以该长方体的体积为V＝2×2×2＝8.故选C.角度2直线与平面垂直的判定和性质2．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．解(1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2.连接OB，因为AB＝BC＝AC，所以△ABC...