第7讲离散型随机变量及其分布列[考纲解读]1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．2.能确定随机变量，求出随机变量发生的概率，正确列出分布列．(重点、难点)3.理解超几何分布，并能进行简单的应用．[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点内容.预测2020年将会考查：①与排列组合及统计知识结合的分布列；②与独立重复事件结合的分布列.试题以解答题的形式呈现，以现实生活中的事例为背景进行考查，试题难度不大，属中档题型.1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为□随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量，称为□离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的□概率分布列，简称为X的□分布列，有时为了表达简单，也用等式□P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质①□pi≥0(i＝1,2，…，n)；②□.3．常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布若随机变量X服从两点分布，即其分布列为(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝□，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．1．概念辨析(1)随机试验的结果与随机变量是一种映射关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应.()(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．()(3)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．()(4)若随机变量X的分布列由下表给出，X25P0.30.7则它服从两点分布．()答案(1)√(2)√(3)√(4)×2．小题热身(1)已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量ξ，那么ξ的可能取值为()A．0,1B．1,2C．0,1,2D．0,1,2,3答案C解析由于只有2件次品，所以ξ的可能取值为0,1,2.(2)抛掷两枚质地均匀的硬币，则正面向上的个数X的分布列为()答案C解析因为P(X＝1)＝，所以A，B不正确；又因为P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝1.所以D不正确，故选C.(3)设随机变量X的分布列如下：则p为()A.B.C.D.答案C解析由分布列的性质得，＋＋＋＋p＝1，解得p＝.(4)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．答案解析设所选女生人数为x，则x服从超几何分布，其中N＝6，M＝2，n＝3，则P(x≤1)＝P(x＝0)＋P(x＝1)＝＋＝.题型离散型随机变量分布列的性质设随机变量ξ的分布列P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a的值；(2)求P；(3)求P.解由已知分布列为：(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝.(2)P＝P＋P＋P(ξ＝1)＝＋＋＝.(3)因为<ξ<只有ξ＝，，满足，故P＝P＋P＋P＝＋＋＝.条件探究若将举例说明条件变为“P(ξ＝n)＝(n＝1,2,3,4)．”求P的值．解 P(ξ＝n)＝.∴＋＋＋＝1，∴a＝.P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝.结论探究举例说明条件下，求5ξ－1的分布列．解由举例说明解析得ξ的分布列为所以5ξ－1的分布列为1．分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．提醒：求分布列中的参数值时，要保证每个概率值均为非负数．2．随机变量X的线性组合的概率及分布列问题(1)随机变量X的线性组合η＝aX＋b(a，b∈R)是随机变量．(2)求η＝aX＋b的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列.1．设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：则下列各式正确的是()A．P(ξ＜3)＝B．P(ξ＞1)＝C．P(2＜ξ＜4)＝D．P(ξ＜0.5)＝0答案C解析由离散型随机变量ξ的概率分布列得，P(ξ＜3)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝＋＋＋＝，故A错误；P(ξ＞1)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝，故B错误；P(2＜ξ＜4)＝...
