第四节直线、平面垂直的判定与性质突破点一直线与平面垂直的判定与性质1．直线和平面垂直的定义直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．2．直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⇒a∥b3．直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．(2)线面角θ的范围：.一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．()(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.()答案：(1)×(2)√(3)√二、填空题1．过一点有________条直线与已知平面垂直．答案：一2．在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，①若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．②若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．答案：外垂3．如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________________；与AP垂直的直线有________．解析：因为PC⊥平面ABC，所以PC垂直于直线AB，BC，AC.因为AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面PAC，又因为AP⊂平面PAC，所以AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：AB，BC，ACAB1[典例](2019·郑州一测)如图，在三棱锥PABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB＝6，BC＝2，AC＝2，D为线段AB上的点，且AD＝2DB，PD⊥AC.(1)求证：PD⊥平面ABC；(2)若∠PAB＝，求点B到平面PAC的距离．[解](1)证明：连接CD，据题知AD＝4，BD＝2，AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴cos∠ABC＝＝，∴CD2＝22＋(2)2－2×2×2cos∠ABC＝8，∴CD＝2，∴CD2＋AD2＝AC2，则CD⊥AB. 平面PAB⊥平面ABC，∴CD⊥平面PAB，∴CD⊥PD， PD⊥AC，AC∩CD＝C，∴PD⊥平面ABC.(2)由(1)得PD⊥AB， ∠PAB＝，∴PD＝AD＝4，PA＝4，在Rt△PCD中，PC＝＝2，∴△PAC是等腰三角形，∴可求得S△PAC＝8.设点B到平面PAC的距离为d，由VBPAC＝VPABC，得S△PAC×d＝S△ABC×PD，∴d＝＝3.故点B到平面PAC的距离为3.[方法技巧]证明直线与平面垂直的方法(1)定义法：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面(不常用)；(2)判定定理(常用方法)；(3)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(客观题常用)；(4)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它必垂直于另一个平面(客观题常用)；(5)若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面(常用方法);(6)若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面(客观题常用)．[针对训练](2019·贵州模拟)如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，且AB＝AD＝1，AA1＝，∠ABC＝60°.(1)求证：AC⊥BD1；(2)求四面体D1AB1C的体积．解：(1)证明：连接BD，与AC交于点O，因为四边形ABCD为平行四边形，且AB＝AD，所以四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，可知2BB1⊥AC，则AC⊥平面BB1D1D，又BD1⊂平面BB1D1D，则AC⊥BD1.(2)VD1AB1C＝VABCDA1B1C1D1－VB1ABC－VD1ACD－VAA1B1D1－VCC1B1D1＝VABCDA1B1C1D1－4VB1ABC＝×－4×××＝.突破点二平面与平面垂直的判定与性质1．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⇒l⊥α2．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．(3)二面角α的范围：.一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.()(...
