【精品】高三数学 2.1数学归纳法及其应用举例(第一课时)大纲人教版选修VIP免费

第二章极限§2.1数学归纳法及其应用举例课时安排5课时从容说课在数学中常常是从已知条件或者定义、公理、定理出发,通过逻辑推理,从而使新的结果获得证明.常用的数学证明方法可以分为演绎法和数学归纳法两大类.演绎法有下面两种形式：(1)直接证法.它的格式可以写成“因为……所以……于是……从而……这就证明了所需的结果”.(2)间接证法.常用的是反证法.它的格式写成“假设所需要的结果不成立,则……于是……从而……这就导出矛盾,因此所需要的结果成立”.反证法有时要与穷举法结合起来运用,即将所需要的结果的反面的所有情况一一列出,然后分别导出矛盾.一般说来,凡能用直接证法证明的命题,一定可以用反法证来证明,反过来也对.数学归纳法有两种——有限数学归纳法和超限数学归纳法.在现行高三数学选修教材中学生学习有限数学归纳法(即具体的k都是有限的正整数),简称数学归纳法.数学归纳法的原理是什么？运用时要注意哪些问题？这一点在教学中应值得广大教师高度重视.数学归纳法的原理是裴雅诺(Peano,1858年~1932年,意大利数学家)公理,其中有一条公理叫做归纳公理：“如果某一正整数的集合M含有1,而且只要M含有正整数k,就一定含有k后面紧挨着的那个正整数k+1,那么M就是正整数集本身.”现设P(n)是一个与正整数n有关的命题,用M表示使P(n)成立的正整数的集合.由数学归纳法的第一个步骤可知命题P(1)成立,所以M含有1.再由数学归纳法的第二个步骤知当假设了n=k时命题P(k)成立后,可以推出n=k+1时命题P(k+1)也成立；换句话说,只要M含有正整数k,就一定含有k后面紧接着的那个正整数k+1.因此,根据归纳公理,M就是正整数集本身,即命题P(n)对于所有正整数都成立.数学归纳法的两个步骤缺一不可.根据实际问题确定使命题成立的第一个正整数可能是1,也可能是2、3等等.要确切理解命题P(n)中正整数n在各种实际问题中分别代表什么.在完成第二个步骤时,要运用命题P(k)成立到P(k+1)成立这一归纳假设去推导命题P(k+1)也成立.不能离开P(k)成立这一条件,用其他方法导出P(k+1)成立的结果,因为这样做,就看不出P(k)成立到P(k+1)成立这一递推关系了.有的学生在实施数学归纳法的第一步时,对只验证n取第一个值时命题成立觉得不够放心,又验证了n取下一个值时命题也成立(如证明了当n=1时命题成立后,又去证n=2,3等情况时命题也成立),这是没有必要的.在本节教学中要注重数学与文化的教学,让学生充分认识到数学中处处有人文精神,鼓励学生探索创造,充分体现课程改革的精神.第一课时课题§2.1.1数学归纳法(一)教学目标一、教学知识点1.理解数学归纳法原理及证明问题的步骤.2.了解归纳法的分类：不完全归纳法与完全归纳法.3.数学归纳法中递推思想的理解.二、能力训练要求1.能区分不完全归纳法与完全归纳法；学会由特殊到一般的思维方式.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,并能严格按照数学归纳法证明问题的格式网站：http://www.zbjy.cn论坛：http://bbs.zbjy.cn版权所有@中报教育网1书写.三、德育渗透目标1.学习数学归纳法,不仅能证明有关问题,更重要的是可以开阔学生的眼界,还可以使他们受到推理论证的训练.2.培养学生分析问题、解决问题的能力,同时,也让学生感受到数学文化的熏陶,培养学生的科学文化素质(包括数学素养).3.培养学生的辩证唯物主义观点,由感性认识上升到理性认识.教学重点数学归纳法原理及其简单的应用是本节课的教学重点,数学归纳法在讨论涉及正整数无限性的问题时是一种非常重要的方法,它的地位和作用：中学数学中的许多重要结论,用数学归纳法加以证明,可以使学生对有关知识的掌握深化一步.教学难点对数学归纳法原理的了解,关键是讲清数学归纳法的两步骤及其作用,数学归纳法的基本思想,即先验证使结论有意义的最小的正整数n0,如果当n=n0时,命题成立,再假设当n=k(k≥n0,kN∈*)时,命题成立(这时命题是否成立不是确定的),根据这个假设,如能推出当n=k+1时,命题也成立,那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1,n0+2,…,命题都成立,这是问题的重点和难点.教学方法建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法.数学归纳法的原理是很抽象的,但又与生活中的许多实例是相关的,可以列举大量的实...