三角函数的图像与性质VIP免费

省栟中高一数学复习讲义编写：缪鹏三角函数的图像与性质【课前预习】1函数f(x)＝sin2的最小正周期是________．1.解析：对解析式进行降幂扩角，转化为f(x)＝－cos＋，可知其最小正周期为.2.将函数y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)的图象向左平移个单位后，所得的函数恰好是偶函数，则φ的值是________．2.解析：函数y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后，得y＝sin，则＋φ＝kπ＋，又0≤φ≤π，故φ＝.3.已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈，则f(x)的取值范围是________．3.解析：由题意知，ω＝2，因为x∈，所以2x－∈，由三角函数图象知：f(x)的最小值为3sin＝－，最大值为3sin＝3，所以f(x)的取值范围是.4.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的图象如图所示，则y的表达式是________．4.y＝sin＋1解析：由图知，A＝＝，＝π－，∴T＝π，则ω＝2，k＝1，将点代入解析式可求得φ＝，∴y＝sin＋1.【典型例题】例1求下列函数的值域：(1)y＝2cos2x＋2cosx；(2)y＝3cosx－sinx；(3)y＝sinx＋cosx＋sinxcosx.(4)y＝.解析：(1)y＝2cos2x＋2cosx＝22－.于是当且仅当cosx＝1时取得ymax＝4，当且仅当cosx＝－时取得ymin＝－，故函数值域为.(2)y＝3cosx－sinx＝2＝2cos. |cos|≤1，∴该函数值域为[－2，2]．(3)令t＝sinx＋cosx，则sinxcosx＝，且|t|≤.∴y＝(t2－1)＋t＝(t＋1)2－1，∴当t＝－1时，ymin＝－1，当t＝时，ymax＝＋.∴该函数值域为.(4)方法一：y＝＝2＋，由于－1≤sinx≤1，所以－5≤≤－，∴函数的值域为.方法二：由y＝，解得sinx＝， －1≤sinx≤1，∴－1≤≤1，解得－3≤y≤，∴函数的值域为.例2已知函数f(x)＝2sin2－cos2x(1)求f(x)的最小正周期及对称中心；(2)若不等式|f(x)－m|＜2在x∈上恒成立，求实数m的取值范围．(2) |f(x)－m|＜2⇔f(x)－2＜m＜f(x)＋2，x∈，∴m＞f(x)max－2且m＜f(x)min＋2，∴1＜m＜4，即m的取值范围是(1,4)．例3已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π，x∈R)的最大值是1，其图象经过点M.(1)求f(x)的解析式；(2)已知α，β∈，且f(α)＝，f(β)＝，求f(α－β)的值．3.(1)依题意知A＝1，f＝sin＝，例4．已知函数2()2sincos23sin3fxxxx（0）的最小正周期为．（1）求函数)(xf的单调增区间；（2）将函数)(xf的图象向左平移6个单位，再向上平移1个单位，得到函数()ygx的图象．若()ygx在[0,](0)bb上至少含有10个零点，求b的最小值．【答案】（1）5[,],Z1212kkk（2）5912【解析】试题分析：（1）要求单调区间，首先要对fx进行化简得到最间形式，依次利用正弦二倍角，降幂公式，和辅助角公式就可以得到2sin23fxx，进而利用复合函数的单调性内外结合求得函数fx的单调区间.（2）利用“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式gx，令0gx，求出所有的零点，在根据[0,](0)bb上至少含有10个零点，得到b的取值范围，进而得到b的最小值.试题解析：（1）由题意得()fx22sincos23sin3xxxsin23cos22sin(2)3xxx2分由周期为，得1.得2sin(2)3fxx4分由正弦函数的单调增区间得222232kxk，得5,1212kxkkZ所以函数)(xf的单调增区间是5[,],Z1212kkk6分（2）将函数)(xf的图象向左平移6个单位，再向上平移1个单位，得到2sin21yx的图象，所以()2sin21gxx8分令()0gx，得：712xk或11(Z)12xkk10分所以在每个周期上恰好有两个零点，若()ygx在[0,]b上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为11594121212分考点：零点单调性辅助角公式正余弦倍角公式例5．已知向量a＝(Asinωx，Acosωx)，b＝(cosθ，sinθ)，f(x)＝a·b＋1，其中A>0，ω>0，θ为锐角．f(x)的图象的两个相邻对称中心的距离为，且当x＝时，f(x)取得最大值3.(1)求f(x)的解析式；(2)将f(x)的图象先向下平移1个单位，再向左平移φ(φ>0)个单位得g(x)的图象，若g(x)为奇函数，求φ的最小值．【答...