第四节双曲线突破点一双曲线的定义和标准方程1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.(1)当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a＞|F1F2|时，P点不存在．2．标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)；(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．()(2)在双曲线标准方程－＝1中，a＞0，b＞0且a≠b.()(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a＞b.()答案：(1)×(2)×(3)×二、填空题1．已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．答案：442．经过点P(－3,2)和Q(－6，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是________．答案：－＝13．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为________．答案：考法一双曲线的定义及应用(1)在解决与双曲线的焦点有关的问题时，通常考虑利用双曲线的定义解题；(2)在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的“差的绝对值”，弄清是整个双曲线还是双曲线的某一支．[例1](1)(2019·宁夏育才中学月考)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于()A．1B．17C．1或17D．以上均不对(2)已知点P在曲线C1：－＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是()A．6B．81C．10D．12[解析](1)根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8⇒PF2＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17，故选B.(2)由题意可知C3，C2的圆心分别是双曲线C1：－＝1的左、右焦点，点P在双曲线的左支上，则|PC2|－|PC3|＝8.|PQ|max＝|PC2|＋1，|PR|min＝|PC3|－1，所以|PQ|－|PR|的最大值为(|PC2|＋1)－(|PC3|－1)＝|PC2|－|PC3|＋2＝8＋2＝10.故选C.[答案](1)B(2)C[方法技巧]双曲线定义的主要应用方面(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．考法二双曲线的标准方程待定系数法求双曲线方程的5种类型类型一与双曲线－＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)类型二若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x或y＝－x，则可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)类型三与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2＜k＜a2)类型四过两个已知点的双曲线的标准方程可设为－＝1(mn＞0)或者＋＝1(mn＜0)类型五与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可设为－＝1(b2＜λ＜a2)[例2](2018·天津高考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1[解析]法一：如图，不妨设A在B的上方，则A，B.又双曲线的一条渐近线为bx－ay＝0，则d1＋d2＝＝＝2b＝6，所以b＝3.又由e＝＝2，知a2＋b2＝4a2，所以a＝.所以双曲线的方程为－＝1.法二：由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1，故选C.[答案]C[方法技巧]求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．2(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨...
