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2.4可逆矩阵授课题目2.4可逆矩阵授课时数:4课时教学目标:掌握可逆矩阵及逆矩阵的概念,可逆矩阵的性质,求逆矩阵的公式可逆矩阵的判定,用初等变换求逆矩阵,用初等变换求解矩阵方程教学重点:可逆矩阵的判定,用初等变换求逆矩阵,求逆矩阵的公式,用初等变换求解矩阵方程教学难点:用初等变换求逆矩阵,用初等变换求解矩阵方程教学过程:一、可逆矩阵的定义及性质1、可逆矩阵的定义解时需要满足CA=-I的C的存在性问题。定义1,对于n阶矩阵A,若存在n阶矩阵A,若存在n阶矩阵B使得AB=BA=I则称A为可逆矩阵(或非奇异矩阵),或A可逆称B为A的逆矩阵从下面几点加深理解:要求A是方阵,非方阵不加以讨论(广义逆);条件是两等式成立(双边乘A等于单位阵);能否用BA=I(单边)定义,若A可逆,A的逆矩阵是否唯一?条件“AB=BA=I”中,A,B的相互性2、可逆矩阵的逆矩阵的唯一性证事实上设都是A的逆矩阵,便有A可逆,用表示A的唯一的逆矩阵,A=A=I3、可逆矩阵的性质设A,B可逆1)可逆且=A;证由于互为逆矩阵,且2)(穿脱原理)注意用定义证一些简单结论证因为A,B均可逆,知存在,且有所以AB可逆,且推广3)两运算可交换顺序证因为A可逆,有两边取转置得所以4、可逆性的初步判定1)初等矩阵的可逆性初等矩阵是可逆的,它们的逆是同类的初等矩阵。2)不可逆矩阵的实例不可逆(推广:有一行(列)为零时)二、可逆矩阵的判定:1、基本定理定理2.4.1初等变换不改变矩阵的可逆性证设A经过一次初等行变换得到B,那么存在一个初等矩阵E,使得EA=B。由于初等矩阵可逆,当A可逆时,EA也可逆,即B可逆。另一方面,,当B可逆时,可逆,即A可逆。对列变换的情形可类似的证明。2、几个充要条件Th.2.4.2A可逆ATh.2.4.3A可逆证设A可逆,则A的等价标准形为,即存在初等矩阵,于是故A可表示成一些初等矩阵的乘积。Th.2.4.4A可逆证因为A可逆存在初等矩阵A经过s次初等变换化成I。Th2.4.5设A,B是两个n阶矩阵,则|AB|=|A||B|推论1设都是n阶矩阵,则Th2.4.6A可逆证必要性设A可逆,则存在,由定理5得充分性由定理2,存在两边取行列式,由推论1得当时,从而先给出方阵行列式的定义;介绍(同行列式乘法定理)给出A可逆(单边的定义)三、逆矩阵的求法1、初等变换法1)原理设()=()2)初等变换方法例设判定是否可逆,若可逆,求解1因为所以A可逆,()2.伴随矩阵法1)伴随矩阵设阵中的代数余子式,矩阵称为A的伴随矩阵2)求逆矩阵的公式(牢记)例2设判定是否可逆,若可逆,求解因为|A|=2,所以A可逆。又所以所以A可逆,四.可逆分块矩阵的逆矩阵1、缺角阵的逆矩阵设A,B分别是m,n阶可逆矩阵,则有Laplace定理知m+n阶分块矩阵是可逆矩阵,得进行相同的分块,令由于根据分块矩阵的乘法计算出左端,并比较等式两边,得有(1)、(2)式得代入(4)式得代入(3)式得所以利用分块矩阵的知识可推得下列公式设A,B可逆.①②③④②,③,④学生思考回答。2、准对角矩阵的逆矩阵反对角矩阵的逆矩阵其中…,s五、一类矩阵方阵的简便解法解A=B(A可逆)的简便方法(A,B)解A=B的简便方法施行初等行变换得到矩阵,则以为增广矩阵的线性方程组必与(1)同解。例3求X解用初等变换的方法所以

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