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高中数学奥林匹克竞赛讲座 19排列组合、二项式定理VIP免费

高中数学奥林匹克竞赛讲座 19排列组合、二项式定理_第1页
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竞赛讲座19-排列、组合、二项式定理基础知识1.排列组合题的求解策略(1)排除:对有限条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况排除,这是解决排列组合题的常用策略.(2)分类与分步有些问题的处理可分成若干类,用加法原理,要注意每两类的交集为空集,所有各类的并集是全集;有些问题的处理分成几个步骤,把各个步骤的方法数相乘,即得总的方法数,这是乘法原理.(3)对称思想:两类情形出现的机会均等,可用总数取半得每种情形的方法数.(4)插空:某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间.(5)捆绑:把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”,然后与其它“普通元素”全排列,然后再“松绑”,将这些特殊元素在这些位置上全排列.(6)隔板模型:对于将不可辨的球装入可辨的盒子中,求装的方法数,常用隔板模型.如将12个完全相同的球排成一列,在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔板,把球分成4堆,分别装入4个不同的盒子中的方法数应为311C,这也就是方程12dcba的正整数解的个数.2.圆排列(1)由},,,,{321naaaaA的n个元素中,每次取出r个元素排在一个圆环上,叫做一个圆排列(或叫环状排列).(2)圆排列有三个特点:(i)无头无尾;(ii)按照同一方向转换后仍是同一排列;(iii)两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同,但元素之间的顺序不同,才是不同的圆排列.(3)定理:在},,,,{321naaaaA的n个元素中,每次取出r个不同的元素进行圆排列,圆排列数为rPrn.3.可重排列允许元素重复出现的排列,叫做有重复的排列.在m个不同的元素中,每次取出n个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序那么第一、第二、…、第n位是的选取元素的方法都是m种,所以从m个不同的元素中,每次取出n个元素的可重复的排列数为nm.4.不尽相异元素的全排列如果n个元素中,有1p个元素相同,又有2p个元素相同,…,又有sp个元素相同(nppps21),这n个元素全部取的排列叫做不尽相异的n个元素的全排列,它的排列数是!!!!21spppn5.可重组合(1)从n个元素,每次取出p个元素,允许所取的元素重复出现p,,2,1次的组合叫从n个元素取出p个有重复的组合.(2)定理:从n个元素每次取出p个元素有重复的组合数为:rpnpnCH)1(.16.二项式定理(1)二项式定理nkkknknnbaCba0)((*Nn).(2)二项开展式共有1n项.(3)rrnrnrbaCT1(nr0)叫做二项开展式的通项,这是开展式的第1r项.(4)二项开展式中首末两端等距离的两项的二项式系数相等.(5)如果二项式的幂指数n是偶数,则中间一项的二项式系数2nnC最大;如果n是奇数,则中间两项的二项式系数21nnC与21nnC最大.(6)二项式开展式中奇数项的二项式系数之和等于偶数项系数之和,即531420nnnnnnCCCCCC7.数学竞赛中涉及二项式定理的题型及解决问题的方法二项式定理,由于结构复杂,多年来在高考中未能充分展示应有的知识地位,而数学竞赛的命题者却对其情有独钟.(1)利用二项式定理判断整除问题:往往需要构造对偶式;(2)处理整除性问题:构造对偶式或利用与递推式的结合;(3)求证不等式:通过二项式展开,取展开式中的若干项进行放缩;(4)综合其他知识解决某些综合问题:有些较复杂的问题看似与二项式定理无关,其实通过观察、分析题目的特征,联想构造合适的二项式模型,便可使问题迅速解决.例题分析例1.数1447,1005,1231有某些共同点,即每个数都是首位为1的四位数,且每个四位数中恰有两个数字相同,这样的四位数共有多少个?例2.有多少个能被3整除而又含有数字6的五位数?例3.有n2个人参加收发电报培训,每两人结为一对互发互收,有多少种不同的结对方式?例4.将1n个不同的小球放入n个不同的盒子中,要使每个盒子都不空,共有多少种放法?例5.在正方体的8个顶点,12条棱的中点,6个面的中心及正方体的中心共27个点中,共线的三点组的个数是多少个?例6.用8个数字1,1,7,7,8,8,9,9可以组成不同的...

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