高考数一轮复习 第三章 第六节 正弦定理和余弦定理演练知能检测 文VIP免费

[全盘巩固]1．已知△ABC，sinA∶sinB∶sinC＝1∶1∶，则此三角形的最大内角的度数是()A．60°B．90°C．120°D．135°解析：选B依题意和正弦定理知，a∶b∶c＝1∶1∶，且c最大．设a＝k，b＝k，c＝k(k＞0)，由余弦定理得，cosC＝＝0，又0°＜C＜180°，所以C＝90°.2．(·山东高考)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝()A．2B．2C.D．1解析：选B由已知及正弦定理得＝＝＝，所以cosA＝，A＝30°.结合余弦定理得12＝()2＋c2－2c××，整理得c2－3c＋2＝0，解得c＝1或c＝2.当c＝1时，△ABC为等腰三角形，A＝C＝30°，B＝2A＝60°，不满足内角和定理，故c＝2.3．(·沈阳模拟)在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.B.C.D.解析：选B由余弦定理得：()2＝22＋AB2－2×2AB·cos60°，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3，故BC边上的高是ABsin60°＝.4．在△ABC中，若lgsinA－lgcosB－lgsinC＝lg2，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形解析：选D由条件得＝2，即2cosBsinC＝sinA.由正、余弦定理得，2··c＝a，整理得c＝b，故△ABC为等腰三角形．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC等于()A.B.C.D．2解析：选C A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B，∴B＝60°.又a＝1，b＝，∴＝，∴sinA＝＝×＝，∴A＝30°，∴C＝90°.∴S△ABC＝×1×＝.6．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinB·sinC，则A的取值范围是()A.B.C.D.解析：选C由已知及正弦定理，有a2≤b2＋c2－bc.而由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bccosA，于是b2＋c2－2bccosA≤b2＋c2－bc，可得cosA≥.注意到在△ABC中，0＜A＜π，故A∈.7．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB＋bcos2A＝a，则＝________.解析：由正弦定理，得sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，即sinB·(sin2A＋cos2A)＝sinA，所以sinB＝sinA．所以＝＝.答案：8．(·深圳模拟)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝，cosB＝，b＝3，则c＝________.解析：由题意知sinA＝，sinB＝，则sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝，所以c＝＝.答案：9．在△ABC中，B＝60°，AC＝，则△ABC的周长的最大值为________．解析：由正弦定理得：＝＝＝，即＝＝2，则BC＝2sinA，AB＝2sinC，又△ABC的周长l＝BC＋AB＋AC＝2sinA＋2sinC＋＝2sin(120°－C)＋2sinC＋＝2sin120°cosC－2cos120°sinC＋2sinC＋＝cosC＋sinC＋2sinC＋＝cosC＋3sinC＋＝(sinC＋cosC)＋＝2sinC＋cosC＋＝2sin＋.故△ABC的周长的最大值为3.答案：310．(·浙江高考)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB＝b.(1)求角A的大小；(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．解：(1)由2asinB＝b及正弦定理＝，得sinA＝.因为A是锐角，所以A＝.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2－bc＝36.又b＋c＝8，所以bc＝.由三角形面积公式S＝bcsinA，得△ABC的面积为.11．(·杭州模拟)设函数f(x)＝6cos2x－sin2x(x∈R)．(1)求f(x)的最大值及最小正周期；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，锐角A满足f(A)＝3－2，B＝，求的值．解：(1)f(x)＝2cos＋3.故f(x)的最大值为2＋3，最小正周期T＝π.(2)由f(A)＝3－2，得2cos＋3＝3－2，故cos＝－1，又由0