高中数学教（学）案第5讲：空间向量及其运算VIP免费

题目第九章(B)直线、平面、简单几何体空间向量及其运算高考要求1理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘2了解空间向量的基本定理；3掌握空间向量的数量积的定义及其性质；4理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念5握空间向量平行、垂直的条件及三个向量共面及四点共面的条件知识点归纳1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算空间向量的加法、减法与数乘向量运算：OBOAABab�;BAOAOBab�;()OPaR�运算律：⑴加法交换律：abba⑵加法结合律：)()(cbacba⑶数乘分配律：baba)(3平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa4共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作ba//．当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．5．共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式OPOAt�a．其中向量a叫做直线l的方向向量6空间直线的向量参数表示式：用心爱心专心OPOAt�a或()OPOAtOBOA�(1)tOAtOB�，中点公式．1()2OPOAOB�7．向量与平面平行：已知平面和向量a，作OAa�，如果直线OA平行于或在内，那么我们说向量a平行于平面，记作：//a．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的8．共面向量定理：如果两个向量,ab不共线，p与向量,ab共面的充要条件是存在实数,xy使pxayb推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对,xy，使MPxMAyMB�①或对空间任一点O，有OPOMxMAyMB�②或,(1)OPxOAyOBzOMxyz�③上面①式叫做平面MAB的向量表达式9空间向量基本定理：如果三个向量,,abc不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组,,xyz，使pxaybzc若三向量,,abc不共面，我们把{,,}abc叫做空间的一个基底，,,abc叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,OABC是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数,,xyz，使OPxOAyOBzOC�10空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,ab，在空间任取一点O，作,OAaOBb�，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作,ab；且规定0,ab，显然有,,abba；若,2ab，则称a与b互相垂直，记作：ab11．向量的模：设OAa�，则有向线段OA�的长度叫做向量a的长度或模，记作：||a12．向量的数量积：已知向量,ab，则||||cos,abab叫做,ab的数量积，记作ab，即用心爱心专心ab||||cos,abab．已知向量ABa�和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A，作点B在l上的射影B，则AB�叫做向量AB�在轴l上或在e上的正射影AB�的长度||||cos,||ABABaeae�．13．空间向量数量积的性质：（1）||cos,aeaae．（2）0abab．（3）2||aaa．14．空间向量数量积运算律：（1）()()()ababab．（2）abba（交换律）．（3）()abcabac...