直线与二次曲线(一)网上课堂[本讲主要内容]1．直线与二次曲线的位置关系,一般由方程组消元后用根的判别式判断实数解的个数来判定,其中直线与圆的位置关系还可考虑几何意义.2．中点弦问题,通常使用中点坐标公式或根与系数的关系.3．弦长公式,.4．直线与二次曲线的最值问题.5．直线与二次曲线的定值问题.[学习指导]1．关于直线与二次曲线的位置关系,要注意一个特殊情况,即把直线y=kx+m代入二次曲线方程中,得一元二次方程：,Δ是方程根的判别式,那么直线与二次曲线有一个公共点Δ=0或A=0,即有一个公共点包括相切、相交两种情况,其中A=0时,直线与双曲线的渐近线或抛物线的轴平行.2．“定值”、“最值”问题是数学中的重要内容,因此也是数学高考中的重要题型.有些几何量和参数无关,这就构成定值问题,解决这类问题常通过参数取的特殊值来确定“定值”是多少,或者是将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式,证明该式的值恒定.解决解析几何中的最值问题,一般是根据条件列出所求目标函数的关系式,然后根据函数关系式的特征选用对称法、参数法、配方法、判别式法,应用不等式性质,以及三角函数最值法和几何方法,求出它的最大值或最小值.[例题精讲]例1．已知直线y=x+m和抛物线y=2x2.(1)当实数m为何值时,这两个函数的图象有两个交点？一个交点？没有交点？(2)当m为何值时,直线被抛物线所截得的线段长度为两个单位？[分析及解]此题(1)显然可以将问题转化为关于一元二次方程的根的个数问题,故联立方程组得0.∴Δ=1+8m.当1+8m>0,即时,这两个圆便有两个交点；当1+8m=0,即时,有一个交点；当1+8m<0,即时,无交点.(2)中,若利用弦长距离公式,显然由于存在着参数m,运算一定很繁琐,可考虑由方程组y得,又设它们的两个交点分别为,,由韦达定理得,,. ,在y=x+m上,1∴,.由距离公式,得.∴即∴,.这种解法的最大优点是应用韦达定理减少运算量.还可考虑利用直线参数方程来解. 当时,,又 在y=x+m中k=1.∴α=45°,∴直线y=x+m的参数方程为代入y=2x2整理得.由弦长公式,得,得.例2．在椭圆上求一点,使它到直线l:3x-2y-16=0的距离最短,并求此距离.[分析及解]此题要借助图表,观察可发现、移动直线l接近椭圆,最先接触的点,即是与直线l平行且与椭圆相切的点,也就是椭圆上到直线l的距离最短的点.设与l平行的直线方程为3x-2y+b=0,将代入,并整理得.①由Δ,求得.画出图形知直线3x-2y-16=0在椭圆的下方,b=8与-8时,两条切线3x-2y+8=0与3x-2y-8=0分别在椭圆的上方和下方,故取b=-8时椭圆上点到直线l距离最短,把b=-8代入方程①,解得.再代入3x-2y-8=0,得,故椭圆上的点()到直线l的距离最短.最短距离为.例3．给定双曲线,过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线相交于Q1,Q2两点,且点B是线段Q1Q2中点.这样的直线如果存在,求出它的方程；如果不存在,说明理由.[分析及解]设Q1,Q2的坐标分别为,,则2①-②得, ,,∴.当时,.这时直线m的方程为y-1=2(x-1)即y=2x-1将y=2x-1代入双曲线方程所得一元二次方程无实根.故满足题设的直线不存在.例4．设直线l:y=2x+2,求证：直线l被曲线(m为实参数)所截得的线段长为定值.[分析及解]求定值的问题中,往往先要探求定值.本例中的曲线方程可配方成,故曲线为一椭圆系,其中心(m,2m),在直线y=2x上,长、短轴为定长且平行于坐标轴,曲线中任一椭圆都可由椭圆平移得到,而直线与y=2x平行.故所有椭圆截l得相等线段,可先求出l截,所得线段之长度,将y=2x+2代入中,得,即,或.∴=.以l代入方程中,同样方法计算d,可得与m无关的弦长.(二)网上训练题A．基础性训练题1．过点(5,4)作与双曲线只有一个公共点的直线共有().(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条2．以椭圆的右焦点为圆心,且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是().(A)x2+y2-10x+9=0(B)x2+y2-10x-9=0(C)x2+y2+10x-9=0(D)x2+y2+10x+9=03．椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称,则椭圆C的方程是().(A)(B)3①②(C)(D)4．若过点(1,2)总可作两条直线和圆相切,则实数k的取值范围是().(A)k>2(B)-3
2(D)k<-35．AB为过椭圆中心的弦,点F(c,0)为椭圆的右焦点,则ΔAFB的面积最大值是().(A)b2(B)ab(C)ac(D)bc6．设双曲线(0
