7.2两条直线的位置关系巩固·夯实基础一、自主梳理1.点和直线的位置关系设P(x0,y0),l:Ax+By+C=0,则(1)点P在直线l上Ax0+By0+C=0;(2)点P不在直线l上Ax0+By0+C≠0，这时P到直线l的距离d=.2.直线与直线的位置关系(1)有斜率的两直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1∥l2k1=k2;l1⊥l2k1·k2=-1;l1与l2相交k1≠k2.(2)若两直线为l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1∥l2A1B2-A2B1=0;l1⊥l2A1A2+B1B2=0.3.到角与夹角(1)l1到l2的角:l1绕交点按逆时针方向旋转到l2所成的角.且tanθ=(k1k2≠-1).(2)l1与l2的夹角为θ，则θ∈［0,］,且tanθ=||(k1k2≠-1).二、点击双基1.三直线ax+2y+8=0,4x+3y=10,2x-y=10相交于一点,则a的值是（）A.-2B.-1C.0D.1解析：解方程组得交点坐标为(4,-2),代入ax+2y+8=0,得a=-1.答案：B2.直线x+y-1=0到直线xsinα+ycosα-1=0(＜α＜＝的角是（）A.α-B.-αC.α-D.-α解析：由tanθ===tan(-α)=tan(-α),∵＜α＜,-＜-α＜0,＜-α＜π,∴θ=-α.用心爱心专心1答案：D3.若直线l:x+ay+2=0平行于直线2x-y+3=0，则直线l在两坐标轴上截距之和是()A.6B.2C.-1D.-2解析：由l与2x-y+3=0平行得=∴a=-，即l:x-y+2=0.令x=0,得y=4.令y=0,得x=-2.x+y=-2+4=2.答案：B4.若直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a-1)y+(a2-1)=0平行且不重合，则a的值是___________.解析：利用两直线平行的条件.答案：-15.在过点(2,1)的所有直线中，距原点最远的直线方程是________________________________解析：距原点距离最远则原点在直线上的射影为(2,1)，∴k=-=-2.∴y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.答案：2x+y-5=0诱思·实例点拨【例1】等腰三角形一腰所在直线l1的方程是x-2y-2=0，底边所在直线l2的方程是x+y-1=0，点(-2,0)在另一腰上，求该腰所在直线l3的方程.剖析：用到角公式求出l3的斜率，再用点斜式可求l3的方程.解：设l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，l1到l2的角是θ1，l2到l3的角是θ2，则k1=,k2=-1，tanθ1===-3.∵l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形，∴θ1=θ2，tanθ1=tanθ2=-3，即=-3,=-3,解得k3=2.又∵直线l3经过点(-2,0),∴直线l3的方程为y=2(x+2)，即2x-y+4=0.讲评：本题根据条件作出合理的假设θ1=θ2，而后利用直线到直线所成角的公式，最后利用点斜式，求出l3的方程.链接·提示用夹角公式会产生什么问题，怎样去掉增解呢？【例2】已知两直线l1：x+ｍ2y+6=0，l2：（ｍ-2）x+3ｍy+2ｍ=0，当ｍ为何值时，l1与l2(1)相交；(2)平行；(3)重合?剖析：依据两直线位置关系判断方法便可解决.用心爱心专心2解：当m=0时，l1：x+6=0，l2：x=0，∴l1∥l2.当m=2时，l1：x+4y+6=0，l2：3y+2=0，∴l1与l2相交.当ｍ≠0且ｍ≠2时，由=得m=-1或m=3，由=得ｍ=3.故(1)当ｍ≠-1，ｍ≠3且ｍ≠0时，l1与l2相交；(2)当ｍ=-1或ｍ=0时，l1∥l2；（3）当ｍ=3时，l1与l2重合.讲评：对这类问题，要从直线有斜率、没有斜率两个方面进行分类讨论.【例3】当m为何值时，三条直线l1:4x+y=4,l2:mx+y=0,l3:2x-3my=4不能构成三角形？剖析：三条直线不能构成三角形的情况：①有两条直线平行；②三条直线相交于一点.解：当l1∥l2时，m=4.当l1∥l3时，=,即m=-.当l2∥l3时，=,无解.当l1,l2,l3相交于一点时，由得交点A(,).∴A点在l3上，即-3m·=4.解得m=或m=-1.综上，当m=-1,-,,4时三条直线不能构成三角形.链接·拓展当m为何值时，三条直线l1:4x+y=4,l2:mx+y=0,l3:2x-3my=4构成直角三角形？提示：当两条直线垂直且第三条直线与另两条直线不平行，不共点即可.答案：-或0或用心爱心专心3
