人教版高中数学必修第一册等差数列(2)VIP专享VIP免费

等差数列(2)●教学目标（一）教学知识点1.等差中项概念.2.数学建模.（二）能力训练要求1.明确等差中项的概念.2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式.（三）德育渗透目标1.培养学生的应用意识.2.提高学生的数学素质.●教学重点等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.●教学难点灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.●教学方法讲练相结合结合典型例题，认真分析，讲解，再结合典型习题进行巩固性练习，从而提高分析问题、解决问题的能力.●教具准备幻灯片两张第一张：记作§3.2.2A1.如果在a与b中间插入一个数A，使a、A、b成等差数列，那么A应满足什么条件？2.在等差数列{an}中，若m+n=p+q,则am+anap+aq,(填“＞”“=”“＜”)第二张：记作§3.2.2B［例1］梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.［例2］已知数列的通项公式为an=pn+q,其中p、q是常数，且p≠0,那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］（提问）：上节课，咱们学习了有关等差数列的哪些内容呢？［生］（回答）：1.等差数列定义：an－an－1=d(n≥2)2.等差数列通项公式：an=a1+(n－1)d(n≥1)推导公式：an=am+(n－m)dⅡ.讲授新课［师］首先，请同学们来思考这样一个问题.（打出幻灯片§3.2.2A）问题1：如果在a与b中间插入一个数A，使a、A、b成等差数列，那么A应满足什么条件？［生］由等差数列定义及a、A、b成等差数列可得：A－a=b－A,即：a=.［师］反之，若A=,则2A=a+b,A－a=b－A,即a、A、b成等差数列.用心爱心专心总之，A=a,A,b成等差数列.也就是说，A=是a,A,b成等差数列的充要条件.如果a、A、b成等差数列，那么a叫做a与b的等差中项.不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.如数列：1，3，5，7，9，11，13，……中，3是1和5的等差中项，5是3和7的等差中项，7是5和9的等差中项等等.进一步思考，同学们是否还发现什么规律呢？比如5不仅是3和7的等差中项，同时它也是1和9的等差中项，即不仅满足5=，同时还满足5=.再如7不仅是5和9的等差中项，同时它也是3和11的等差中项，还是1和13的等差中项，即：7=.看来，a2+a4=a1+a5=2a3,a4+a6=a3+a7=2a5依此类推，可得在一等差数列中，若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.下面，我们来看一个实际问题.（打出幻灯片§3.2.2B）分析：首先要数学建模，即将实际问题转化为数学问题，然后求其解，最后还要结合实际情况将其还原为实际问题的解.解：用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，有a1=33,a12=110,n=12.由通项公式，得a12=a1+(12－1)d,即：110=33+11d,解得：d=7.因此，a2=33+7=40,a3=40+7=47,a4=54,a5=61,a6=68,a7=75,a8=82,a9=89,a10=96,a11=103.答案：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm,47cm,54cm,61cm,68cm,75cm,82cm,89cm,96cm,103cm.评述：要注意将模型的解还原为实际问题的解.［师］再来看例2.［生］思考片刻.［师］分析：由等差数列的定义，要判定{an}是不是等差数列，只要看an－an－1(n≥2)是不是一个与n无关的常数就行了.解：取数列{an}中的任意相邻两项an－1与an(n≥2)，an－an－1=(pn+q)－[p(n－1)+q]=pn+q－(pn－p+q)=p它是一个与n无关的常数，所以{an}是等差数列，且公差是p.在通项公式令n=1,得a1=p+q,所以这个等差数列的首项是p+q,公差是p.看来，等差数列的通项公式可以表示为：an=pn+q（其中p、q是常数）当p=0时，它是一常数数列，从图象上看，表示这个数列的各点均在y=q的图象上.当p≠0时，它是关于n的一次式，从图象上看，表示这个数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上.用心爱心专心例如，首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项公式为：an=2n－1，相应的图象是直线y=2x－1上的均匀排开的无穷多个孤立点.如图所示：Ⅲ.课堂练习课本P116练习3.（师生讨论）3.已知一个无穷等差数列的首项为a1,公差为d:(1)将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？解：设一无穷等差数列为：a1,a2,…...