双曲线的几何性质⑵【新知导读】已知：双曲线的两条渐近线的夹角为，离心率为，求证：．【范例点睛】例１．⑴求证：双曲线（且）与双曲线有共同的渐近线；⑵求与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程．思路点拨：⑴研究的渐近线方程，就是研究的渐近线方程．分讨论得证．⑵用⑴的结论，直接设所求双曲线方程为．例２．设是双曲线上一点，它到的距离为11，是的中点，为坐标原点．求思路点拨：运用双曲线的定义，注意双曲线的范围．用心爱心专心【随堂演练】１．双曲线的渐近线方程是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．２．中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．３．中心在原点，实轴在轴上，实轴长为，且两条渐近线的夹角为的双曲线方程是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．或Ｄ．或４．与曲线共焦点，而与曲线共渐近线的双曲线方程为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．５．双曲线的一条渐近线方程是，焦距为，则此双曲线的标准方程是．６．设椭圆和双曲线的公共焦点为、，是两曲线的一个公共点，则等于．７．直线与双曲线相交于、两点，若以为直径的圆过原点．求的值．用心爱心专心８．求证：平行于双曲线的渐近线的直线与双曲线有且只有一个公共点．９．给定双曲线，过左焦点作倾斜角为的直线交双曲线于、两点，求左焦点到中点的距离．10．直线：与双曲线恒有两个不同的交点、，且（其中为原点）．求的范围．参考答案［新知导读］证明：双曲线的两条渐近线方程为其中一条渐近线的倾斜角即为两条渐近线夹角的一半．用心爱心专心，其中，而［范例点睛］例１．⑴若，双曲线的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为，命题成立．若双曲线方程为，双曲线的渐近线方程为，命题仍成立．⑵设所求双曲线方程为，点在双曲线上即所求方程为．例２．设左顶点，左焦点为．在双曲线的右支上又［自我检测］１．Ｂ２．Ａ３．Ｄ４．Ａ５．或６．７．联立，消去整理得：；以为直径的圆过原点即代入检验成立．８．不失一般性．设双曲线方程为用心爱心专心其渐近线方程为．设与双曲线的一条渐近线平行的直线的方程为，消去得：，（显然）直线与双曲线有且只有一个公共点９．由题意：左焦点．直线方程为10．得即且①设，则，，由得得得②，由①、②得故的范围为．用心爱心专心
