精彩练习九年级数学第三章圆的基本性质章末总结提升见A本35页【例1】【2017·青岛中考】如图所示，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连结BE，ED，BD，若∠BAD＝58°，则∠EBD的度数为__________度．圆的定义应用的延伸性探究点一变式如图所示，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC的平分线交△ABC外接圆于点D，连结BD，若AB＝2AC＝4.(1)则BD长为__________；(2)设点P在优弧CAB上由点C向点B移动(不与点C，B重合)，记∠PBC的角平分线与PD交点为I，点I随点P的移动所经过的路径长l的取值范围是__________．322例1图变式图“弧”与“圆周角”的主角性探究点二【例2】如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C.求证：(1)CB∥PD；(2)BC︵＝PC︵.证明：(1)∵∠P，∠C所对的弧都是BD︵，∴∠P＝∠C.∵∠1＝∠C，∴∠1＝∠P，∴CB∥PD.(2)∵∠1＝∠C，∴BD︵＝PC︵.∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴BC︵＝BD︵，∴BC︵＝PC︵.变式如图所示，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，AB︵＝AE︵，BE分别交AD，AC于点F，G.求证：FA＝FB.证明方法1：连结OA，OE，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠BAF＋∠CAD＝90°，∵AD⊥BC，∴∠C＋∠CAD＝90°，∴∠C＝∠BAF，∵AB︵＝AE︵，∴∠C＝∠ABF，∴∠BAF＝∠ABF，∴FA＝FB.方法2：延长AD交⊙O于H，由AD⊥BC易得BH︵＝AB︵＝AE︵，∴∠ABF＝∠BAF，∴FA＝FB.变式图（例2图）（例2答图）【例3】如图所示，正方形ABCD的对角线AC所在的直线上有一点O，OA＝AC＝2，将正方形绕O点顺时针旋转60°，在旋转过程中，正方形扫过的面积是()A．2πB．2π＋1C．2π＋2D．2π＋3圆中的最值问题探究点三C（例3图）变式图C探究点四（例4图）章末提升训练1．如图所示，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形(阴影部分)，拼成一个四边形．若拼成的四边形的面积为2，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为()A．5B．6C．8D．102．如图所示，AB为⊙O的直径，点P为其半圆上任意一点(不含A，B两点)，点Q为另一半圆上一定点，若∠POA为x°，∠PQB为y°，则y与x的函数表达式为______________________．3．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结OP.(1)求证：BD＝DC.(2)求∠BOP的度数．D第1题图第2题图第3题答图第3题图第6页章末提升训练4．在⊙O中，弦AC，BD相交于点M，且∠A＝∠B.(1)求证：AC＝BD；(2)若OA＝2，∠A＝30°，当AC⊥BD时，求弧CD的长．（第4题图）（第5题图）⌒5．如图所示，已知AB是⊙O的直径，半径OD⊥BC于点E，连结AE，CD的度数为60°.(1)求证：OE＝DE.(2)若OE＝2，求图中阴影部分的面积．⌒第7页章末提升训练6．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC︵沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD.(1)如图1，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径r；(2)如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，请直接写出∠DCA的度数．解：(1)如图1，过点O作OE⊥AC于点E，则AE＝12AC＝12×2＝1，∵翻折后点D与圆心O重合，∴OE＝12r，在Rt△AOE中，AO2＝AE2＋OE2，即r2＝12＋12r2，解得r＝233.(2)如图2，连结BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠B＝90°－∠BAC＝90°－25°＝65°，根据翻折的性质，AC︵所对的圆周角为∠B，ABC︵所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC＋∠B＝180°，∴∠B＝∠CDB＝65°，∴∠DCA＝∠CDB－∠A＝65°－25°＝40°.（第6题答图）（第6题图）
