13.3导数的综合应用巩固·夯实基础一、自主梳理1.利用导数研究函数的单调性,从而可解决比较大小、极值问题、单峰函数的最值问题.2.利用导数的几何意义研究曲线的切线问题.3.利用导数解决物体的运动速度问题.二、点击双基1.某物体作s=2(1-t)2的直线运动，则t=0.8s时的瞬时速度为()A.4B.-4C.-4.8D.-0.8解析:s′=-4(1-t),∴当t=0.8s时，v=-0.8.答案:D2.函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值，则()A.b>0B.b
1时,axlna+logae>0.∴f(x)为增函数.当0-2,n∈N*,比较(1+x)n与1+nx的大小.剖析:从条件最易想到归纳——猜想——证明，但证明由n=k到n=k+1时，(1+x)k+1=(1+x)k·(1+x)过渡到(1+x)k时不等方向不确定，故需按1+x的符号讨论证明.但本题若用导数解就比较简单了.解:设f(x)=(1+x)n-1-nx,当n=1时，f(x)=0,∴(1+x)n=1+nx.当n≥2，n∈N*时,f′(x)=n(1+x)n-1-n=n［(1+x)n-1-1］,令f′(x)=0,得x=0.当-20时，f(x)>0.∴f(x)在［0,+∞］上为增函数.∴当x>-2时，f(x)≥f(0)=0.∴(1+x)n≥1+nx.综上,得(1+x)n≥1+nx.讲评:构造函数法是比较两个多项式的大小或证明不等式常用的方法.链接·拓展本题可用归纳——猜想——证明法解.当n=1时，(1+x)1=1+x.当n=2时，(1+x)2=1+2x+x2≥1+2x.当n=3时，(1+x)3=1+3x+3x2+x3=1+3x+x2(3+x)≥1+3x.猜想:(1+x)n≥1+nx.证明:当x≥-1时，(1)当n=1时，(1+x)n≥1+nx成立.(2)假设n=k时，(1+x)k≥1+kx成立，那么(1+x)k+1=(1+x)k·(1+x)≥(1+x)·(1+kx)=1+(k+1)x+kx2≥1+(k+1)x.∴当n=k+1时，(1+x)n≥1+nx成立.由(1)(2)可知，当x≥-1时，对n∈N*，(1+x)n≥1+nx.当-21+nx.综上,得(1+x)n≥1+nx正确.用心爱心专心2【例2】已知函数f(x)=的图象在点M(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)求函数y=f(x)的单调区间.剖析:(1)f′(1)即为x+2y+5=0的斜率,从而得出一个关于a、b的关系式.点M(-1,f(-1))在切线上,又得出一个关于a、b的等量关系式.从而可求出a、b.(2)利用导数可求y=f(x)的单调区间.解:(1)由函数f(x)的图象在点M(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0,知-1+2f(-1)+5=0,即f(-1)=-2,f′(-1)=-. f′(x)=,∴即解得a=2,b=3( b+1≠0,b=-1舍去).∴所求的函数解析式是f(x)=.(2)f′(x)=.令-2x2+12x+6=0,解得x1=3-2,x2=3+2.当x<3-2或x>3+2时,f′(x)<0;当3-20.所以f(x)=在(-∞,3-2)内是减函数,在(3-2,3+2)内是增函数,在(3+2,+∞)内是减函数.讲评:本题主要考查函数的单调性、导数的应用等知识,考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.【例3】用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架.如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.解:设容器底面短边长为xm,则另一边长为(x+0.5)m,高为=3.2-2x(m).设容积为ym3,则y=x(x+0.5)(3.2-2x)(0
