一轮复习专题：数列中存在性问题VIP免费

1/13专题：数列中的存在性问题学大苏分教研中心周坤一、单存在性变量解题思路：该类问题往往和恒成立问题伴随出现（否则就是一个方程有解问题，即零点问题），可以先假设存在，列出一个等式，通过化简，整理成关于任意性变量（一般为n）的方程，然后n的系数为0，构造方程，进而解出存在性变量，最后检验。例1、已知数列{na}的前n项和为nS=235nn，在数列{nb}中，1b=8，164nnbb=0，问是否存在常数c使得对任意n，logncnab恒为常数M，若存在求出常数c和M,若不存在说明理由.解析：假设存在常数c使得对任意n，logncnab恒为常数M， nS=235nn，∴当n=1时，则1a=1S=8，当n≥2时，na=1nnSS=2235[3(1)5(1)]nnnn=62n，当n=1适合，∴na=62n，又 164nnbb=0，∴1nnbb=164，∴数列{nb}是首项为8，公比为164的等比数列，∴nb=118()64n=962n，则logncnab=9662log2ncn=62(96)log2ann=6(1log2)29log2aan，又 对任意n，logncnab恒为常数M，∴6(1log2)a=0，解得c=2，2/13∴M=29log2a=11，∴存在常数c=2使得对任意n，logncnab恒为常数M=11.二、双存在型变量解题思路：先假设存在，根据题目条件，列出一个含有两个变量（一般至少都为正整数）的等式，即转化为一个数论中的双整数问题，然后分离变量。如果可以分离常数，则利用数论中约数的知识列出所有可能情况，最后进行双检验，即对两个变量均进行条件检验；如果不可以分离常数，则利用分离出的变量所具有的隐含范围（如大于0）消元，进而构造一个不等式，解出另一个变量的范围，再列出求出的被压缩的范围里的所有整数值，分别求出对应的另一个存在性变量，最后进行检验。例2、【2010南通一模】设等差数列{}na的前n项和为nS，且5133349aaS，．（1）求数列{}na的通项公式及前n项和公式；（2）设数列{}nb的通项公式为nnnabat，问:是否存在正整数t，使得12mbbb，，(3)mmN，成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.【解】（1）设等差数列{}na的公差为d.由已知得51323439aaa，，⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分即118173adad，，解得112.ad，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分.故221nnanSn，.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（2）由（1）知2121nnbnt.要使12mbbb，，成等差数列，必须212mbbb，即312123121mttmt，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分.3/13（3）整理得431mt，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.当2t时，7m；当3t时，5m；当5t时，4m.故存在正整数t，使得12mbbb，，成等差数列.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分例3、设数列na的前n项和2nSn，数列nb满足*()nnnabmNam.（Ⅰ）若128,,bbb成等比数列，试求m的值；（Ⅱ）是否存在m，使得数列nb中存在某项tb满足*14,,(,5)tbbbtNt成等差数列？若存在，请指出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）因为2nSn，所以当2n时，121nnnaSSn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分又当1n时，111aS，适合上式，所以21nan（*nN）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分所以2121nnbnm，则1281315,,1315bbbmmm，由2218bbb，得23115()3115mmm，解得0m（舍）或9m，所以9m⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分（Ⅱ）假设存在m，使得*14,,(,5)tbbbtNt成等差数列，即412tbbb，则712127121tmmtm，化简得3675tm⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分所以当51,2,3,4,6,9,12,18,36m时，分别存在43,25,19,16,13,11,10,9,8t适合题意，即存在这样m，且符合题意的m共有9个⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分例4、【2010徐州三模】已知数列na是各项均不为0的等差数列，nS为其前n项和，且满足221nnaS，4/13令11nnnbaa，数列nb的前n项和为nT.（1）求数列na的通项公式及数列nb的前n项和为nT；（2）是否存在正整数,mn(1)mn，使得1,,mnTTT成等比数列？若存在，求出所有的,mn的值；若不存在，请说明理由.解：（1）因为na是等差数列，由212121()(21)(21)2nnnnaanaSna，又因为0na，所以21nan，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分由111111()(21)(21)22121nnnbaannnn所以111111(1)2335212121nnTnnn．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分(2)由(1)知，21nnTn，所以11,,32121mnmnT...