40概率论与数理统计教学教案第6章参数估计教学基本指标教学课题第6章第1节点估计课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点点估计、估计量与估计值的概念、估计量的无偏性、有效性和一致性的概念、、估计量的相合性、矩估计法(一阶、二阶距)和最大似然估计法。教学难点矩估计法(一阶、二阶距)和最大似然估计法。参考教材浙江大学《概率论与数理统计》第四版作业布置课后习题大纲要求1•理解参数的点估计、估计量与估计值的概念；了解估计量的无偏性、有效性(最小方差性)和一致性(相合性)的概念，并会验证估计量的无偏性；会利用大数定律证明估计量的相合性。2•掌握矩估计法(一阶、二阶距)和最大似然估计法。41教学基本内容一•矩估计法1.矩估计法的基本思想是替换原理，即用样本矩去替换相应的总体矩，这里的矩可以是原点矩也可以是中心距。我们知道，矩是由随机变量的分布唯确定的，而样本来源于总体，由大数定律，样本矩在定程度上反映总体矩的特征。2•矩估计法：用样本矩来估计总体矩的估计方法称为矩估计法.3•矩估计法的步骤：设总体X的分布中包含m个未知参数。，0，…，0，X,X，…,X为来自总体X的样本，如果总体12m12n的k阶原点矩E(Xk)存在，并设E(Xk)=卩(0,00)，相应的k阶样本原点矩为k12mA=-工Xk，以A替代E(Xk)，即可得到关于0，0，…，0的方程组knik12mi=1p(0,00)=丄工Xk,k=1,2,...,mk12mnii=1方程组的解0k(X,X，…,X),k一1,2,…,m，称为参数0k(k一1,2,…,m)的矩估计量.k12nk4.若代入一组样本观测值x,x,x，则0(x,x,x)称为参数0k(k一1,2,…,m)的矩估计值.42X0PF20(1-0)0其中0是未知参数，假设收集了该供应商8周的发货批次如下：1，3，0，3，1，2，3,求0的矩估计值.LLx>1xp+/:其中未知参数卩〉1，o,x-1-二•最大似然估计法1•最大似然估计的步骤：若总体X的分布中含有k个未知待估参数。,0,…，0k，则似然函数为12kL(0,00)=Hf(x;0,0，…0).12ki12ki=1QLQinL解似然方程组QG=0,i=1,2,…,k，或者对数似然方程组-Q0=0,i=1,2,…,k，即可得到参数的最大似然ii估计°,°，…,°。12k2•定理：若0为参数0的最大似然估计，g(0)为参数0的函数，则g(0)是g(0)的最大似然估计.三•点估计的评价标准1.无偏性：设°=°(X,X，…,X)是未知参数0的估计量，若E(0)=0，贝I」称°为0的无偏估计。12n2.有效性：设°,°均为参数0的无偏估计量，若D(0)VD(0),贝称°比°有效。121212了、3.相合性(一致性)：设°为未知参数0的估计量，若对任意的£>0，都有limP申-0|<£了=1，即°n—g依概率收敛于参数0，则称°为0的相合(一致)估计。4.定理：设°为0的估计量，若limE(0)=0,limD(0)=0，则°为0的相合(一致)估计.n—gn—g四•例题讲解例1・设X为某零配件供应商每周的发货批次，其分布律为12321-20例2•设某种钛金属制品的技术指标为X其概率密度为f(x)=X,X，…,X为来自总体X的简单随机样本，求卩的矩估计量.12n例3•已知某种金属板的厚度X在(a,b)上服从均匀分布，其中a,b未知，设抽查了n片金属板，厚度分别为X1,X2,…,化，试用矩估计法估计a,b.例4•设袋中放有很多的白球和黑球，已知两种球的比例为1:9，但不知道哪种颜色的球多，现从中有放回地抽取三次，每次一球，发现前两次为黑球，第三次为白球，试判断哪种颜色的球多。例5・求出例2中未知参数卩的最大似然估计量.43例6.设某种元件使用寿命X的概率密度为f(x)J2"""〔0,其中e>o是未知参数，设〔0,其它X,,・・・,x是样本观测值，求0的最大似然估计.1n例7•设某工厂生产的手机屏幕分为不同的等级，其中一级品率为p，如果从生产线上抽取了20件产品，发现其中有3件为一级品，求：(1)p的最大似然估计；(2)接着再抽5件产品都不是一级品的概率的最大似然估计.例8・设样本X,X，…,X来自正态总体X〜N(p,Q2)，其中卩，Q2未知，求卩和Q2的最大似然估计。12n例9・设总体X的k阶矩p=E(Xk)存在，证明：不论X服从什么分布，样本的k阶矩Ak=丄工Xk是»的无偏估计。好？例10.已知B=-刀(X-X)2,2niS2=占另(Xi-X)2都是总体方差°2的估计量，问哪个估计量更i=1例11・设总体X的概率密度为f(x)=^30?、0总体X的简单样本，选择适当...
