第三讲导数的运算及应用【基础回顾】一、知识梳理：1．导数的概念：（1）设函数在区间上有定义，，当无限趋近于0时，比值：无限趋近于一个常数A，则称在点处可导，并称常数A为函数在处的导数，记作．（2）导数的几何意义：曲线)(xfy在点处的切线的斜率．2.几种常见函数的导数：（1）0（C为常数）；（2）（为常数）；（3）)，；（4）)，；（5），．3.导数运算法则（和、差、积、商的导数）：（1）；（2）；（3）；（4）．（5）复合函数的求导法则：)()())(('''xufxfx或xuxuyy'''（理科用）4．利用导数研究函数的单调性：利用导数研究函数单调性的一般步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）①若求单调区间（或证明单调性），只需在函数的定义域内解（或证明）不等式或；②若已知的单调性，则转化为不等式或在单调区间上恒成立问题求解．5．利用导数研究函数的极值：利用导数研究函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）①求极值，则先求方程的根，再检验在方程根左右两侧的符号，求出极值（当根中有参数时要注意分类讨论）；②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程的根的大小或存在情况，从而求解．16．利用导数求函数的最值：求在上的最大值与最小值的步骤：（1）求在上的极值；（2）将第一步中求得的极值与比较得到在区间上的最大值与最小值．二、基础达标：1.函数f(x)＝在点(x0，f(x0))处的切线平行于x轴，则f(x0)＝________.2．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是．3．已知函数的图像与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为．4．函数在区间上的最小值是．5．(2009·湖北理)已知函数，则的值为________．【典型例题】例题1：已知函数.．(1)当时，求曲线在点处的切线方程(e＝2.718…)；(2)求函数的单调区间．例题2：已知函数（1）当a=2时，求函数的最大值和最小值；（2）若函数，求函数的单调递减区间；（3）当a=1时，求证：2例题3：已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝(a>0)，设F(x)＝f(x)＋g(x)．(1)求F(x)的单调区间；(2)若以y＝F(x)(x∈(0,3])图像上任意一点为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值；(3)是否存在实数m，使得函数的图像与的图像恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．例题4：设函数.(1)若求的单调区间；(2)若时,求的取值范围.3【巩固练习】1．直线y＝2x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b＝____________.2．函数在处取得极值，则．3．（2011年湖南卷）曲线在点M处的切线的斜率为．4．（2010年江苏卷）函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_________．5．函数)(xf在定义域R内可导，若)1()1(xfxf，且当)1,(x时，0)()1(xfx，设)0(fa，)21(fb，)3(fc，则a、b、c的大小关系是．6．已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,cR)∈,若函数f(x)在区间[-1,0]上是单调减函数，则a2+b2的最小值为．7．函数，其中是两两不相等的常数，则=．8．已知函数f(x)＝ln(x＋a)－x2－x在x＝0处取得极值，若关于x的方程f(x)＝－x＋b在区间(0,2)有两个不等实根，则实数b的取值范围是．9．在平面直角坐标系中，已知是函数的图象上的动点，该图象在点处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的纵坐标为，则的最大值为．10．是定义在R上的偶函数，当时，且，则不等式的解集为．11．（2011江西卷）设.（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.412．已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.(1)求a，b的值；(2)如果当x＞0且x≠1时，f(x)＞＋，求k的取值范围．13．设函数f(x)＝lnx－ax2－bx，(1)当a＝b＝时，求f(x)的最大值；(2)令F(x)＝f(x)＋ax2＋bx＋(0
