1中国科学院高等代数解：（1）证法1证法2ABIIBABIIBAIIAIIBAInmnmnmnmn00BAIBAIBIIAIIBAIIBAImmnmnmnmn00.BAIABImn2证明：因为A为正交矩阵，故其特征值的模长为1.由于1A，故可设，于是3法14法2因为1)(nAr，故方程组0AX的解空间是一维的。若0，则0**AAA，故0*A，为*A的一个特征向量。若0，则为方程组0AX解空间的一组基，又0*AA，故*A也是方程组0AX的解，于是存在k使得kA*，即为*A的一个特征向量。},,max{1nk，则jininjiijiihx11,，jininjiijiikiy11,5故njiniijijinjijijininjiijiiniinhhhhxx1,21221,,11,12,2||||||||||njiniijijinjijijininjiijiiniinkkkkiyy1,21221,,11,122||||||||||于是,nhx且nky。特征值，并设，于是当0时必为纯虚数。因此，6（本题结论改为：存在C，使得)()(AtrAT更恰当）证明：因为T是线性映射，且满足)()(BATABT，故0)(BAABT，于是任给nji1，都有0)()(iiijijiiijEEEETET，且0)()(ijjijiijjjiiEEEETEET，因此设)(11ET，则)()()()(1,1AtrETaETaATnjiniiiiiijij。
