【2013·河南·22题】如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°。（1）操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是；（2）猜想论证：当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想。（3）拓展研究：已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）。若射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长。解：（1）①DE∥AC（易证△ACD是等边三角形）②S1=S2。易证DF是△ACB的中位线S1=12BC·DF=12·2CF·DF=CF·DFS2=12AC·CF=12·2DF·CF=DF·CF∴S1=S2A(D)B(E)CACBDE图1图2F（2） ∠ACB=90°∴∠ACN+∠BCN=90° ∠DCE=90°，即∠DCN=90°∴∠DCM+∠BCN=90°∴∠ACN=∠DCM ∠ANC=∠DMC=90°，AC=DC∴△CAN≌△CDM∴AN=DM S1=12BC·DM，S2=12CE·AN，BC=CE∴S1=S2（3）过点D作DK⊥BC于K。 AB平分∠ABC，∠ABC=60°∴∠CBD=∠ABD=30° BD=4∴DK=2，BK=23 DE∥AB∴∠ABD=∠BDE=30°∴∠CBD=∠BDE=30°∴∠DEK=∠CBD+∠BDE=60°∴EK=2tan3DKDEK=233∴BE=BK-EK=23-233=433∴S△BDE=12BE·DK=12·433·2=433延长CD交BA于H，易证得CH⊥AB∴S△DCF=12DC·FH=12·4·FH=433∴FH=233易得BH=BK=23由题意知，点F可以在点H的上方或下方∴BF=833或433ADCEBHFFKACBEDNM图3图4【2013·河南·23题】如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线y=12x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，72）。点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F。（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标。解：（1）由题意知，点C是y=12x+2与y轴的交点 当x=0时，y=2∴C（0，2）将C、D坐标代入抛物线解析式得：27932cbc解得b=72，c=2∴抛物线的解析式为y=-x2+72x+2（2） PF∥OC∴当四边形OCPF是平行四边形时，PF=OC=2由题意得，P（m，-m2+72m+2），F（m，12m+2） 点P在y轴右侧∴m＞0∴PF=|-m2+72m+2-(12m+2)|=|-m2+3m|=2当P在CD上方时，-m2+3m=2则m2-3m+2=0，解得m=1或2当P在CD下方时，-m2+3m=-2则m2-3m-2=0解得m=3172或3172(舍去)故，当m=1或2或3172时，四边形OCPF是平行四边形（3）点P坐标为（12，72）或（236，1318）①当P在CD上方时，PF=-m2+3m，如下左图。由△PKF∽△CHF∽△GOC可求得：PK=55(6m-2m2)，FK=55(3m-m2)，CF=52m ∠PCF=45°∴PK=CK=CF+FK则55(6m-2m2)=55(3m-m2)+52m整理得2m2-m=0解得m=0(舍去)或12∴P（12，72）②当P在CD下方时，PF=m2-3m，如下右图。与①同理，可求得：PK=55(2m2-6m)，FK=55(m2-3m)，CF=52m由PK=CK=CF-FK得55(2m2-6m)=52m-55(m2-3m)整理得6m2-23m=0解得m=0(舍去)或236∴P（236，1318）PCDBEOAFxyKHGPCDBEOAFxyKHG【2013·山西·25题】数学活动——求重叠部分的面积。问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G，求重叠部分（△DCG）的面积。（1）独立思考：请解答老师提出的问题。（2）合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，你能求出重叠部分（△DGH）的面积吗？请写出解答过程。（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将△DEF绕点D旋转，在提出一个求重叠部分面积的问题。“爱心”小组提出的问题是：如图3，将△DEF绕点D旋转，DE、DF分别交AC于点M、N，使DM=MN，求重叠部分（△DMN）的面积。任务：①请解决“爱心”小组所提出的问题，直接写出△DMN的面积是；②请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图4中画出图形，标明字母，不必解答（注：也可在图...
