相似三角形的性质与判定的综合应用?应用一利用相似三角形求线段长1．如图ZT5－1所示，正方形ABCD的边长是3，E是正方形ABCD的边AB上的点，且AE＝1，EF⊥DE交BC于点F，求线段CF的长．图ZT5－12．如图ZT5－2，在矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F.(1)△ABE与△ADF相似吗？请说明理由．(2)若AB＝6，AD＝12，BE＝8，求DF的长．图ZT5－2?应用二利用相似三角形求角度3．如图ZT5－3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB·CE.(1)求证：△ADB∽△EAC；(2)若∠BAC＝40°，求∠DAE的度数．图ZT5－3?应用三利用相似三角形求线段的比例关系4．如图ZT5－4，在△ACB和△ADE中，AB·AD＝AC·AE，∠CAE＝∠BAD，S△ADE＝4S△ACB.求证：DE＝2BC.图ZT5－45．2017·杭州如图ZT5－5，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若AD＝3，AB＝5，求AFAG的值．图ZT5－56．如图ZT5－6，在△ABC中，AB＞AC，在AB边上取一点D，AC边上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证：BPCP＝BDCE.图ZT5－67．如图ZT5－7，D是△ABC的边BC上的点，BD∶DC＝2∶1，E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，求BE∶EF的值．图ZT5－7?应用四利用相似三角形求面积8．如图ZT5－8，在?ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，若BG＝42，求△CEF的面积．图ZT5－8详解详析1．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，∴∠ADE＋∠DEA＝90°.又∵EF⊥DE，∴∠AED＋∠BEF＝90°，∴∠ADE＝∠BEF，∴△ADE∽△BEF，∴ADBE＝AEBF.∵AE＝1，∴BE＝AB－AE＝2，∴32＝1BF，∴BF＝23.∵BC＝3，∴CF＝BC－BF＝73.2．解：(1)△ABE与△ADF相似．理由如下：∵四边形ABCD为矩形，DF⊥AE，∴∠ABE＝∠AFD＝90°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF,∴△ABE∽△DFA.(2)∵△ABE∽△DFA，∴AEAD＝ABDF.在Rt△ABE中，AB＝6，BE＝8，∴AE＝10，∴1012＝6DF，∴DF＝7.2.3．解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ACE.∵AB2＝DB·CE，∴ABCE＝DBAB，∴ABCE＝DBAC，∴△ADB∽△EAC.(2)∵△ADB∽△EAC，∴∠BAD＝∠E，∠D＝∠CAE.∵∠DAE＝∠BAD＋∠BAC＋∠CAE，∴∠DAE＝∠D＋∠BAD＋∠BAC.∵∠BAC＝40°，AB＝AC，∴∠ABC＝70°，∴∠D＋∠BAD＝70°，∴∠DAE＝∠D＋∠BAD＋∠BAC＝70°＋40°＝110°.4．证明：∵AB·AD＝AC·AE，∴ABAE＝ACAD.又∵∠CAE＝∠BAD，∴∠CAE＋∠DAC＝∠BAD＋∠DAC，即∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB.又∵S△ADE＝4S△ACB，∴DEBC2＝S△ADES△ACB＝4，∴DEBC＝2，∴DE＝2BC.5．解：(1)证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE＝∠AGC＝90°.∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AED＝∠ACB.又∵∠EAD＝∠CAB，∴△ADE∽△ABC.(2)由(1)可知：△ADE∽△ABC.∵AF⊥DE，AG⊥BC，相似三角形对应高的比等于相似比，∴AFAG＝ADAB＝35.6．：如图，过点B作BF∥AC交PD的延长线于点F，则△PCE∽△PBF，∴BPCP＝BFCE.∵BF∥AC，∴∠1＝∠2.∵AD＝AE，∴∠2＝∠4.又∵∠3＝∠4，∴∠1＝∠3，∴BF＝BD，∴BPCP＝BDCE.7．解：如图，过点E作EG∥BC，交AC于点G.∵EG∥BC，∴△AEG∽△ADC，∴EGCD＝AEAD＝12.∵BD∶DC＝2∶1，∴EGBC＝16.∵EG∥BC，∴△FEG∽△FBC，∴FEFB＝EGBC＝16，∴BE∶EF＝5∶1，即BE∶EF的值为5.8．：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝9，∴∠DAE＝∠AEB.∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE＝6，∴EC＝BC－BE＝3.∵BG⊥AE，∴在Rt△ABG中，AG＝AB2－BG2＝2，∴AE＝2AG＝4，∴S△BEA＝12AE·BG＝82.∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠F.又∵∠AEB＝∠FEC，∴△BEA∽△CEF，∴S△BEAS△CEF＝BEEC2＝4，∴S△CEF＝22.
