[6.2黄金分割]一、选择题1．如图K－13－1，C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，则下列结论中正确的是()链接听课例1归纳总结图K－13－1A．AB2＝AC2＋BC2B．BC2＝AC·BAC.BCAC＝5－12D.ACBC＝5－122．已知P是线段AB的一个黄金分割点(AP＞PB)，则PB∶AB的值为()A.3－52B.5－12C.1＋52D.3－543．已知线段MN＝6cm，P是线段MN的一个黄金分割点，则其中较长线段MP的长是()A．(9－35)cmB．(35－3)cmC．(35－1)cmD．(3－5)cm4．宽与长的比是5－12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用下面的方法画出黄金矩形：如图K－13－2①，作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF.以点F为圆心，以FD的长为半径画弧，交BC的延长线于点G，作GH⊥AD，交AD的延长线于点H.则下列图②中的矩形是黄金矩形的是()链接听课例2归纳总结图K－13－2A．矩形ABFEB．矩形EFCDC．矩形EFGHD．矩形DCGH二、填空题5．已知C是线段AB的一个黄金分割点，且AB＝8cm，AC＞BC，那么AC＝________cm.链接听课例1归纳总结6．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为________cm.(结果保留2位小数)7．从美学角度来说，人的上身长与下身长之比越接近黄金比时越给人一种美感．某女教师上身长约61.8cm，下身长约93cm，她要穿________cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果．(精确到1cm)三、解答题8．如图K－13－3所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．(1)求AM，DM的长；(2)M是AD的黄金分割点吗？为什么？图K－13－3探究题我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比5－12.如图K－13－4，在△ABC中，点D在边AB上，且DB＝DC＝AC，已知∠B＝36°.(1)写出图中所有的黄金三角形，并选一个说明理由；(2)在线段BC上是否存在点P(点B，C除外)，使△PDC是黄金三角形？若存在，简要说明画出点P的方法(不要求证明)；若不存在，说明理由．图K－13－4详解详析[课堂达标]1．[解析]C根据黄金分割的定义，可知BCAC＝5－12.故选C.2．[解析]A根据题意，得AP＝5－12AB，∴PB＝AB－AP＝3－52AB，∴PB∶AB＝3－52.故选A.3．[解析]BMP＝5－12×6＝(35－3)cm，故选B.4．[解析]D由作图方法可知DF＝5CF，所以CG＝(5－1)CF，且GH＝CD＝2CF，从而得出黄金矩形．由题意易得CG＝(5－1)CF，GH＝2CF，∴CGGH＝（5－1）CF2CF＝5－12，∴矩形DCGH是黄金矩形．故选D.5．[答案](45－4)[解析]由题意得AC＝5－12AB＝5－12×8＝(45－4)cm.6．[答案]12.36[解析]∵书的宽与长之比为黄金比，长为20cm，∴它的宽＝20×5－12＝10(5－1)≈12.36(cm)．故答案为12.36.7．[答案]7[解析]设她要穿xcm的高跟鞋．由题意得61.893＋x＝5－12，解得x≈7.8．解：(1)在Rt△APD中，AP＝1，AD＝2，由勾股定理，得PD＝AD2＋AP2＝22＋12＝5，∴AM＝AF＝PF－AP＝PD－AP＝5－1，∴DM＝AD－AM＝2－(5－1)＝3－5.故AM的长为5－1，DM的长为3－5.(2)M是AD的黄金分割点．理由如下：∵AMAD＝5－12，∴M是AD的黄金分割点．[素养提升]解：(1)所有的黄金三角形有三个：△DBC，△ADC，△BAC.选△DBC说明：∵∠B＝36°，DB＝DC，∴△DBC是黄金三角形．或选△ADC说明：∵DB＝DC＝AC，∴∠BCD＝∠B＝36°，∠A＝∠CDA＝∠BCD＋∠B＝72°，∴∠ACD＝180°－∠CDA－∠A＝36°.∴△ADC是黄金三角形．或选△BAC说明：∵DB＝DC＝AC，∴∠BCD＝∠B＝36°，∠A＝∠CDA＝∠BCD＋∠B＝72°，∴∠ACB＝180°－∠B－∠A＝72°，∴∠A＝∠ACB，∴BA＝BC.又∵∠B＝36°，∴△BAC是黄金三角形．(2)存在．有两个符合条件的点P.①以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线交BC于点P1；②以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD长为半径作弧交BC于点P2.点P1，P2即为所求．
