第五讲奇数与偶数及奇偶性的应用一、基本概念和知识1.奇数和偶数整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。2.奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数。性质2：偶数±奇数=奇数。性质3：偶数个奇数相加得偶数。性质4：奇数个奇数相加得奇数。性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数。二、例题利用奇数与偶数的这些性质，我们可以巧妙地解决许多实际问题.例11+2+3+⋯+1993的和是奇数？还是偶数？分析此题可以利用高斯求和公式直接求出和，再判别和是奇数，还是偶数.但是如果从加数的奇、偶个数考虑，利用奇偶数的性质，同样可以判断和的奇偶性.此题可以有两种解法。解法1： 1+2+3+⋯+1993又 997和1993是奇数，奇数×奇数=奇数，∴原式的和是奇数。解法2： 1993÷2=996⋯1，∴1～1993的自然数中，有996个偶数，有997个奇数。 996个偶数之和一定是偶数，又 奇数个奇数之和是奇数，∴997个奇数之和是奇数。因为，偶数+奇数=奇数，所以原式之和一定是奇数。例2一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？解法1： 相邻两个奇数相差2，∴150是这个要求数的2倍。∴这个数是150÷2=75。解法2：设这个数为x，设相邻的两个奇数为2a+1，2a-1（a≥1）.则有（2a+1）x-（2a-1）x=150，2ax+x-2ax+x=150，2x=150，x=75。∴这个要求的数是75。例3元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？分析此题初看似乎缺总人数.但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇偶性上，因此与总人数无关。解：由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记送出贺年卡一次.那么贺年卡的总张数应能被2整除，所以贺年卡的总张数应是偶数。送贺年卡的人可以分为两种：一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡总和为偶数。另一种是送出了奇数张贺年卡的人：他们送出的贺年卡总数=所有人送出的贺年卡总数-所有送出了偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数=偶数-偶数=偶数。他们的总人数必须是偶数，才使他们送出的贺年卡总数为偶数。所以，送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数。例4已知a、b、c中有一个是5，一个是6，一个是7.求证a-1，b-2，c-3的乘积一定是偶数。证明： a、b、c中有两个奇数、一个偶数，∴a、c中至少有一个是奇数，∴a-1，c-3中至少有一个是偶数。又 偶数×整数=偶数，∴（a-1）×（b-2）×（c-3）是偶数。例5任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与原数之和不能等于999。则有a+a′=b+b′=c+c′=9，因为9不会是进位后得到的又因为a′、b′、c′是a、b、c调换顺序得到的，所以a+b+c=a′+b′+c′。因此，又有（a+a′）+（b+b′）+（c+c′）=9+9+9，即2（a+b+c）=3×9。可见：等式左边是偶数，等式的右边（3×9=27）是奇数.偶数≠奇数.因此，等式不成立.所以，此假设“原数与新数之和为999”是错误的，命题得证。这个证明过程教给我们一种思考问题和解决问题的方法.先假设某种说法正确，再利用假设说法和其他性质进行分析推理，最后得到一个不可能成立的结论，从而说明假设的说法不成立.这种思考证明的方法在数学上叫“反证法”。例6用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组：a×b×c×d-a=1991a×b×c×d-b=1993a×b×c×d-c=1995a×b×c×d-d=1997试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在。解：由原题等式组可知：a（bcd-1）=1991，b（acd-1）=1993，c（abd-1）=1995，d（abc-1）=1997。 1991、1993、1995、1997均为奇数，且只有奇数×奇数=奇数，∴a、b、c、d分别为奇数。∴a×b×c×d=奇数。∴a、b、c、d的乘积分别减去a、b、c、d后，一定为偶数.这与原题等式组矛盾。∴不存在满足题设等式组的整数a、b、c、d。例7桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。解：要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次“翻转”....
