第5课时数列的综合应用一、填空题1．一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部各册书，公元年代之和为14035，则出齐这套书的年份是________．解析：设出齐这套书的年份是x，则(x－12)＋(x－10)＋(x－8)…＋＋x＝14035，x＝2011.答案：20112．数列{an}前n项和Sn与通项an满足Sn＝nan＋2n2－2n(n∈N*)，则a10－a100的值为________．解析： Sn＝nan＋2n2－2n，①∴当n≥2时，Sn－1＝(n－1)an－1＋2(n－1)2－2(n－1)．②①－②得an＝nan－(n－1)an－1＋2(2n－1)－2，整理得an－an－1＝－4，即{an}为公差为－4的等差数列，∴a10－a100＝(100－10)×4＝360.答案：3603．数列{xn}满足x1＝1，x2＝，且＋＝(n≥2)，则xn等于________．解析：由x1＝1，x2＝，＋＝(n≥2)得：－＝－，{－}组成常数列，首项－＝，－＝，＝＋＝1＋＝，∴xn＝.答案：4．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n＝1,2,3…，)，则它的通项公式是an＝________.解析：(n＋1)a－na＋an＋1an＝0，即为(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0，而an＞0，an＋1＞0，∴an＋1＋an≠0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0，即＝，∴an＝a1···…＝1····…·＝.答案：5．(苏州市高三教学调研测试)命题P“：在等比数列{an}中，若aa10a()＝64，则数列{an}的前11项的积T11”为定值．由于印刷问题，括号处的数模糊不清，已知命题P是真命题，则可推得括号处的数为________．解析：由等比数列性质有a1·a11＝a2·a10…＝a，所以T11＝a1·a2·…·a11＝a，若命题P为真命题，则有|a6|为定值，a·a10·an＝(a6q－4)4a6q4a6qn－6＝aqn－18＝64，所以当n＝18时，|a6|＝2为定值．答案：186．(江苏省高考命题研究专家原创卷)若数列{an}(n∈N*)的递推关系式为如下的伪代码所示，则a2010＝________.解析：由题意，得数列{an}的递推关系式为a1＝，an＋1＝所以a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，a6＝.由此，数列{an}的项的大小具有周期性，且周期为5.又2010＝402×5，所以a2010＝a5＝.答案：7．(江苏省高考命题研究专家原创卷)将给定的25个数排成如图所示的数表，若每行5个数按从左至右的顺序构成等比数列，每列的5个数按从上到下的顺序也构成等比数列，且表正中间一个数a33＝1，则表中所有数之积为________．解析：特值法处理，不妨令表中各数均为1，显然是符合题设要求的一个数表，这时，表中各数之积为1，所以所求的答案为1.答案：1二、解答题8．一个球从100m高处自由落下，每次着地后跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，共经过的路程是多少？(精确到1m)解：由题意知，球第一次着地时经过的路程是100m，从这时到球第二次着地时共经过了m，从这时到球第三次着地时共经过m…，到第10次时应为m.∴S10＝100＋2×＋2×…＋＋2×＝100＋100＝100≈＋300(m)．即共经过的路程为300m.9．假设某市年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年年底．(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.(1.085≈1.47)解：(1)设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列．其中a1＝250，d＝50，则Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n.令25n2＋225n≥4750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，∴n≥10.∴到年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．(2)设新建住房面积构成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列．其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×1.08n－1.由题意可知an＞0.85bn，有250＋(n－1)·50＞400×1.08n－1×0.85.由1.085≈1.47解得满足上述不等式的最小正整数n＝6，∴到年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.10．(江苏省高考命题研究专家原创卷)已知数列{an}中，a1＝，点(n,2an＋1－an)在直线y＝x上，其中n＝1,2,3…，.(1)令bn＝an＋1－an－1，求证：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项；(3)设Sn、Tn分别为数列{an}、...
