2.6正态分布1．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，则P(X＜3)＝________.解析由正态分布图象知，μ＝3为该图象的对称轴，P(X＜3)＝P(X＞3)＝.答案2．若随机变量X服从标准正态分布N(0,1)，则X在区间(－3,3]上取值的概率等于________．答案0.9973．设随机变量X服从正态分布N(2,9)若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，则c等于________．解析 μ＝2，由正态分布的定义知其图象关于直线x＝2对称，于是＝2，∴c＝2.答案24．已知X～N(0，σ2)且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X＞2)＝________.解析 P(0≤X≤2)＝P(－2≤X≤0)＝0.4，∴P(X＞2)＝(1－2×0.4)＝0.1.答案0.15．已知正态总体落在区间(0.2∞，＋)内的概率是0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时达到最高点．解析由正态曲线的性质知：μ＝0.2，故x＝0.2时，正态曲线f(x)达到最高点．答案0.26．已知某种零件的尺寸X(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80∞，＋)上是减函数，且f(80)＝.(1)求正态分布密度函数的解析式；(2)估计尺寸在72mm～88mm之间的零件大约占总数的百分之几．解(1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80∞，＋)上是减函数，所以正态曲线关于直线x＝80对称，且在x＝80处取得最大值．因此得μ＝80，＝，所以σ＝8.故正态分布密度函数的解析式是(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88，所以零件尺寸X在区间(72,88)内的概率是0.6826.因此尺寸在72mm～88mm间的零件大约占总数的68.26%.7．对于正态分布N(0,1)的概率密度函数P(x)＝，有下列四种说法：①P(x)为偶函数；②P(x)的最大值为；③P(x)在x＞0时是单调减函数，在x≤0时是单调增函数；④P(x)关于σ＝1对称．不正确的是________(填序号)．解析X～N(0,1)，∴曲线的对称轴为x＝μ＝0.答案④8．已知某次英语考试的成绩X服从正态分布N(116,64)，则10000名考生中成绩在140分以上的人数为________．解析由已知得μ＝116，σ＝8.∴P(92＜X≤140)＝P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974，∴P(X＞140)＝(1－0.9974)＝0.0013，∴成绩在140以上的人数为13.答案139．如图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3时的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1、σ2、σ3的大小关系是________．解析由已知得＝，∴σ2＝1.由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ“”越小，曲线越瘦高，所以0＜σ1＜σ2＝1＜σ3.答案0＜σ1＜σ2＝1＜σ310．设X～N(0,1)．①P(－ε＜X＜0)＝P(0＜X＜ε)；②P(X＜0)＝0.5；③已知P(－1＜X＜1)＝0.6826，则P(X＜－1)＝0.1587；④已知P(－2＜X＜2)＝0.9544，则P(X＜2)＝0.9772；⑤已知P(－3＜X＜3)＝0.9974，则P(X＜3)＝0.9987.其中正确的有________(只填序号)．解析正态曲线关于y轴对称，故①②正确．对于③，P(X＜－1)＝(1－P(|X|＜1))，＝(1－0.6826)＝0.1587，故③正确；对于④，P(X＜2)＝(1－P(|X|＜2))＋P(|X|＜2)＝(1－0.9544)＋0.9544＝0.9772；故④正确，同理⑤正确．答案①②③④⑤11．若一批白炽灯共有10000只，其光通量X服从正态分布，其正态分布密度函数是f(x)＝，x∈(∞∞－，＋)，试求光通量在下列范围内的灯泡的个数．(1)(203,215)；(2)(191,227)．解由于X的正态分布密度函数为f(x)＝，x∈(∞∞－，＋)，∴μ＝209，σ＝6.∴μ－σ＝209－6＝203，μ＋σ＝209＋6＝215.μ－3σ＝209－6×3＝209－18＝191，μ＋3σ＝209＋6×3＝209＋18＝227.因此光通量X的取值在区间(203,215)，(191,227)内的概率应分别是0.6826和0.9974.(1)于是光通量X在(203,215)范围内的灯泡个数大约是10000×0.6826＝6826.(2)光通量在(191,227)范围内的灯泡个数大约是10000×0.9974＝9974.12．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有13人．(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？解(1)设学生的成绩为X，共有n人参加竞赛， X～N(60,100)，∴μ＝60，σ＝10.∴P(X≥90)＝[1－P(30＜X＜90)]＝(1－0.9974)＝0.0013.又P(X≥90)＝，∴＝0.0013.∴n＝10000.故此次参加竞赛的学生...
