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第2讲一元二次不等式及其解法一、选择题1．已知函数f(x)＝，若f(x)≥1，则x的取值范围是()A．(－∞，－1]B．[1，＋∞)C．(－∞，0]∪[1，＋∞)D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：将原不等式转化为：或从而得x≥1或x≤－1.答案：D2．不等式x2－ax－b<0的解集为{x|20的解集为()A．{x|20为－6x2－5x－1>0，即6x2＋5x＋1<0，∴.答案：C3．(·天津)设函数f(x)＝，则不等式f(x)＞f(1)的解集是()A．(－3,1)∪(3，＋∞)B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1,3)解析：原不等式可化为或，所以不难解得原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．答案：A4．(·山东)在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为()A．(0,2)B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－1,2)解析：根据给出的定义得x⊙(x－2)＝x·(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)＜0，则(x＋2)(x－1)＜0，故这个不等式的解集是(－2,1)．答案：B二、填空题5．若－1＜a＜0，则不等式(x－a)(ax－1)＜0的解集为________．解析：∵－1＜a＜0，∴(x－a)(ax－1)＜0⇔(x－a)＞0，又a＞，∴不等式的解集为.答案：6．已知函数f(x)＝(x－2)，则不等式f(x)≥0的解集是________．解析：f(x)≥0等价于x2－2x－3＝0或解之得x≥3或x＝－1.答案：{x|x≥3或x＝－1}7．(·辽宁丹东调研)若x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立，则a的范围是________．解析：∵(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0恒成立，∴由①得a＞－2，由②得a≤－3或a≥2.故a≥2.答案：[2，＋∞)三、解答题8．解关于x的不等式＞0(a≠0)．解：∵x2－x＋3＞0，对x∈R恒成立，∴原不等式等价于x2＋ax＞0，即x(x＋a)＞0.又a≠0，∴当a＜0时，解得x＜0或x＞－a.当a＞0时，解得x＜－a或x＞0.综上，当a＜0时，原不等式的解集为{x|x＜0或x＞－a}；当a＞0时，原不等式的解集为{x|x＜－a或x＞0}．9．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞x的解集为(1,2)，若f(x)的最大值大于1，求实数a的取值范围．解：∵不等式f(x)＞x的解集为(1,2)，∴设f(x)－x＝a(x－1)(x－2)，且a＜0.∴f(x)＝ax2＋(1－3a)x＋2a(a＜0)．因此f(x)max＝＝.依题意＞1且a＜0，解之得a＜0.因此实数a的取值范围是(－∞，0)．10．(·安徽铜陵调研)国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策，现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元(叫做税率R%)，则每年的销售收入将减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元，问R应怎样确定？解：设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元，从中征收的税金为70x·R%万元，其中x＝100－10R.由题意，得70(100－10R)R%≥112，整理，得R2－10R＋16≤0.∵Δ＝36>0，方程R2－10R＋16＝0的两个实数根为R1＝2，R2＝8.然后画出二次函数y＝R2－10R＋16的图象，由图象得不等式的解为：2≤R≤8.∴当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元．1．(·创新题)定义运算＝ad－bc，实数x满足≥2，则x的取值范围是()A．x≤－1或x≥2B．－1≤x≤2C．x≤－2或x≥1D．－2≤x≤1解析：由题意得＝x2－x，∴≥2同解于x2－x－2≥0，解之得x≤－1或x≥2.答案：A2．(★★★★)已知函数f(x)＝，g(x)＝，若g[f(x)]≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：①当x≥0时，f(x)＝－x≤0，∴g[f(x)]＝g(－x)＝1－(－x)＝1＋x，∴g[f(x)]min＝1，又∵g[f(x)]≥a，∴a≤1；②当x＜0时，f(x)＝x2＞0，∴g[f(x)]＝g(x2)＝1＋x2；∴g[f(x)]min＝g[f(0)]＝1，由g[f(x)]≥a恒成立，得a≤1.答案：a≤1

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