习题课正弦定理和余弦定理的应用1．在△ABC中，已知cosAcosB>sinAsinB，则△ABC是()．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析cosAcosB>sinAsinB⇔cos(A＋B)>0，∴A＋B<90°，∴C>90°，C为钝角．答案C2．在△ABC中，若cosB＝，＝，则△ABC三边边长之比a∶b∶c等于()．A．4∶5∶6B．5∶4∶6C．6∶4∶5D．6∶5∶4解析由＝＝，则设c＝2k，a＝3k.cosB＝＝＝，得b＝k.∴a∶b∶c＝6∶5∶4.答案D3．在△ABC中，A＝60°，AC＝16，面积为220，那么BC的长度为()．A．25B．51C．49D．49解析S△ABC＝AC×AB×sin60°＝×16×AB×＝220，∴AB＝55.∴BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcos60°＝552＋162－2×16×55×＝2401∴BC＝49.答案D4．在△ABC中，已知sinA＝，sinA＋cosA<0，a＝3，b＝5，则c＝.解析由sinA＋cosA<0且sinA＝，∴cosA＝－.又由余弦定理得：(3)2＝b2＋c2－2bc·cosA，∴c＝2或c＝－10(舍去)．答案25．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则△ABC外接圆的面积是________．解析S△ABC＝bcsinA＝c＝，∴c＝4，由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA＝12＋42－2×1×4cos60°＝13，∴a＝.∴2R＝＝＝，∴R＝.∴S外接圆＝πR2＝.答案6．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C所对的边．(1)若△ABC面积S△ABC＝，c＝2，∠A＝60°，求a，b的值．(2)若a＝ccosB，且b＝c·sinA，试判断△ABC的形状．解(1)∵S△ABC＝bc·sinA＝，∴b·2sin60°＝，∴b＝1.由a2＝b2＋c2－2bc·cosA＝12＋22－2×2×1·cos60°＝3.∴a＝.(2)由a＝ccosB＝c·得：a2＋b2＝c2，所以∠C＝90°，在Rt△ABC中，sinA＝，∴b＝c·sinA＝a.即△ABC是等腰直角三角形．7．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是()．A．90°B．120°C．135°D．150°解析7所对的角为α，则cosα＝＝，α＝60°.∴最大角与最小角的和为180°－60°＝120°.答案B8．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是()．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度确定解析设直角三角形三边为a，b，c，且a2＋b2＝c2，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2，∵a＋b>c，x>0，∴(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2>0.即c＋x所对的角为最大角变为锐角．答案A9．三角形两条边长分别为3cm,5cm，其夹角的余弦是方程5x2－7x－6＝0的根，则此三角形的面积是.解析由5x2－7x－6＝0得，x1＝－，x2＝2，∵x2＝2>1舍去．设夹角为θ，则cosθ＝－，得sinθ＝.∴S＝×3×5×＝6(cm2)．答案6cm210．已知锐角三角形边长分别为2,3，x，则x的取值范围为.解析由三角形三边的关系有3－2
