习题课正弦定理和余弦定理的应用1.在△ABC中,已知cosAcosB>sinAsinB,则△ABC是().A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形解析cosAcosB>sinAsinB⇔cos(A+B)>0,∴A+B<90°,∴C>90°,C为钝角.答案C2.在△ABC中,若cosB=,=,则△ABC三边边长之比a∶b∶c等于().A.4∶5∶6B.5∶4∶6C.6∶4∶5D.6∶5∶4解析由==,则设c=2k,a=3k.cosB===,得b=k.∴a∶b∶c=6∶5∶4.答案D3.在△ABC中,A=60°,AC=16,面积为220,那么BC的长度为().A.25B.51C.49D.49解析S△ABC=AC×AB×sin60°=×16×AB×=220,∴AB=55.∴BC2=AB2+AC2-2AB×ACcos60°=552+162-2×16×55×=2401∴BC=49.答案D4.在△ABC中,已知sinA=,sinA+cosA<0,a=3,b=5,则c=.解析由sinA+cosA<0且sinA=,∴cosA=-.又由余弦定理得:(3)2=b2+c2-2bc·cosA,∴c=2或c=-10(舍去).答案25.在△ABC中,A=60°,b=1,S△ABC=,则△ABC外接圆的面积是________.解析S△ABC=bcsinA=c=,∴c=4,由余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA=12+42-2×1×4cos60°=13,∴a=.∴2R===,∴R=.∴S外接圆=πR2=.答案6.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角∠A,∠B,∠C所对的边.(1)若△ABC面积S△ABC=,c=2,∠A=60°,求a,b的值.(2)若a=ccosB,且b=c·sinA,试判断△ABC的形状.解(1)∵S△ABC=bc·sinA=,∴b·2sin60°=,∴b=1.由a2=b2+c2-2bc·cosA=12+22-2×2×1·cos60°=3.∴a=.(2)由a=ccosB=c·得:a2+b2=c2,所以∠C=90°,在Rt△ABC中,sinA=,∴b=c·sinA=a.即△ABC是等腰直角三角形.7.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是().A.90°B.120°C.135°D.150°解析7所对的角为α,则cosα==,α=60°.∴最大角与最小角的和为180°-60°=120°.答案B8.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,则新三角形的形状是().A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度确定解析设直角三角形三边为a,b,c,且a2+b2=c2,则(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=a2+b2+2x2+2(a+b)x-c2-2cx-x2=2(a+b-c)x+x2,∵a+b>c,x>0,∴(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2>0.即c+x所对的角为最大角变为锐角.答案A9.三角形两条边长分别为3cm,5cm,其夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根,则此三角形的面积是.解析由5x2-7x-6=0得,x1=-,x2=2,∵x2=2>1舍去.设夹角为θ,则cosθ=-,得sinθ=.∴S=×3×5×=6(cm2).答案6cm210.已知锐角三角形边长分别为2,3,x,则x的取值范围为.解析由三角形三边的关系有3-2