章末质量评估(三)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．对于空间中的非零向量AB、BC、AC，有下列各式：①AB＋BC＝AC；②AB－AC＝BC；③|AB|＋|BC|＝|AC|；④|AB|－|AC|＝|BC|.其中一定不成立的是________．解析根据空间向量的加减法运算，对于①：AB＋BC＝AC恒成立；对于③：当AB、BC、AC方向相同时，有|AB|＋|BC|＝|AC|；对于④：当BC、AB、AC共线且BC与AB、AC方向相反时，有|AB|－|AC|＝|BC|.只有②一定不成立．答案②2．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝______.解析c－a＝(0，0，1－x)，故(c－c)·(2b)＝2(0，0，1－x)·(1，2，1)＝2(1－x)，结合已知得2(1－x)＝－2，解得x＝2.答案23．已知G是△ABC的重心，O是平面ABC外的一点，若λOG＝OA＋OB＋OC，则λ＝______.解析如图，正方体中，OA＋OB＋OC＋OD＝3OG，所以λ＝3.答案34．空间四边形ABCD，E、F分别为AB、CD的中点，则向量EF与BC、AD________(是、否)共面．解析如下图所示，EF＝EA＋AD＋DF，EF＝EB＋BC＋CF.又E、F分别是AB、CD的中点，故有EA＝－EB，DF＝－CF，∴2EF＝AD＋BC，∴EF＝AD＋BC.∴EF与AD、BC共面．答案是5．下列命题中，正确命题的个数为______．①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量，a与α共面，则n·a＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．解析①中平面α，β可能平行，也可能重合，故①不正确；结合平面法向量的概念，易知②③④正确．答案36．在四面体O－ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE可表示为______(用a，b，c表示)．解析OE＝OA＋AD＝OA＋×(AB＋AC)＝OA＋×(OB－OA＋OC－OA)＝OA＋OB＋OC＝a＋b＋c.答案a＋b＋c7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若AE＝AA1＋xAB＋yAD，则x，y的值分别为______．解析如图，AE＝AA1＋A1E＝AA1＋A1C1＝AA1＋(AB＋AD)，故x，y的值都为.答案，8．正四棱锥P－ABCD中，高为1，底边长为2，E为BC中点，则异面直线PE与DB所成角为________．答案9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈CM，D1N〉的值为______．解析设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，可知CM＝(2，－2，1)，D1N＝(2，2，－1)，所以cos〈CM，D1N〉＝－，故sin〈CM，D1N〉＝.答案10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为AB的中点，则二面角B－CA1－P的大小为________．答案11．正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是______．解析如图，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，P(0，－，)，所以CA＝(2a，0，0)，AP＝(－a，－，)，CB＝(a，a，0)，设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0，1，1)，则cos〈CB，n〉＝＝＝，故〈CB，n〉＝60°，所以直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.答案30°12．在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为：Ax＋By＋Cz＋D＝0(A，B，C，D∈R，且A，B，C不同时为零)，点P(x0，y0，z0)到平面α的距离为：d＝；则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于______．解析如图，以底面中心O为原点建立空间直角坐标系O－xyz，则A(1，1，0)，B(－1，1，0)，P(0，0，2)，设平面PAB的方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，将以上3个坐标代入计算得A＝0，B＝－D，C＝－D，所以－Dy－Dz＋D＝0，即2y＋z－2＝0，故d＝＝.答案13．已知力F1＝i＋2j＋3k，F2＝－2i＋3j－k，F3＝3i－4j＋5k，若F1、F2、F3共同作用在一个物体上，使物体从点M1(1，－2，1)移到点M2(3，1，2)，则合力所做的功为______．解析因为F＝F1＋F2＋F3＝(1，2，3)＋(－2，3，－1)＋(3，－4，5)＝(2，1，7)，M1M2＝(2，3，1)，所以合力所做的功F·M1M2＝(2，1，7)·(2，3，1)＝4＋3＋7＝14.答案1414．在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1...
