一元二次方程解法的综合运用VIP专享VIP免费

一元二次方程解法的综合运用[内容]教学目标(一)巩固、掌握解一元二次方程的四种解法：(二)提高题目难度，培养计算能力和计算技巧，渗透换元思想；(三)培养观察能力，根据题目结构，选择恰当的解法.教学重点的难点重点：四种方法的综合运用，选择恰当的解法.难点：选择恰当的解法.要有一定的计算能力和技巧.教学过程设计(一)复习1.一元二次方程的一般形式是什么?2.不完全的一元二次方程有哪几种?3.解一元二次方程有哪四种方法?(二)新课同一个题目可能会有多种解法，我们应该根据题目的结构选取恰当的解法.在解题过程中应该根据算理，发挥计算技能，要有毅力计算到底，并在解题过程中随时检查可能出现的错误.例1解方程：x(x-1)=3x(x+1)分析：(启发学生一起想)先化为一般形式.解：原方程化为(1-3)x2-(1+3)x=0,提取公因式x,得x[(1-3)x-(1+3)]=0,x=0,(1-3)x-(1+3)=0.(二次根式运算的结果，应化为最简二次根式)例2解方程：(3x+2)2-8(3x+2)+15=0.分析：(启发学生一起想)不宜把(3x+2)2和8(3x+2)展开整理为一元二次方程一般形式.观察题目的结构可见，把3x+2换元为t，则原方程就是t的一元二次方程.解：设3x+2=t,原方程变为t2-8t+15=0,(t-3)(t-5)=0.所以t1=3,t2=5.即3x+2=3或3x+2=5.故x1=3113,x2=1.注：本题也可直接写为[(3x+2)-3][(3x+2)-5]=0,即(3x-1)(3x-3)=0,故x1=13,x2=1.例3解方程：144x2=61-208x.解：原方程化为144x2+208x-61=0,则a=144,b=208,c=-61.b2-4ac=2082-4×144(-61)=2082+4×144×61.(此题数据太大，不宜大乘大除，应注意计算技巧.分解因数，提取公因数，化为连乘积)b2-4ac=(16×13)2+22×42×9×61=82(4×169＋9×61)=82×1225=(8×35)2＞0,原方程有实根.3661,41,3635263635820821xxx所以例4解方程：2(x+1)2+3(x+1)(x-2)-2(x-2)2=0.分析：如果把各项展开，整理为一元二次方程的一般过程太繁.观察题目结构，可换元.解：设x+1=m,x-2=n,原方程变形为2m2+3mn-2n2=0,左边因式分解为(2m-n)(m+2n)=0,2m-n=0或m+2n=0,即2(x+1)-(x-2)=0或(x+1)+2(x-2)=0所以x1=-4,x2=1.另解：也可直接写为[2(x+1)-(x-2)][(x+1)+2(x-2)]=0,2x+2-x+2=0或x+1+2x-4=0,故x1=-4,x2=1.例5解方程：(x+2)(x+3)(x-4)(x-5)=44.分析：从例4的解题过程，我们再一次体会到，解方程的基本思想之一是“降次”，例如把一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程.本题是一元四次方程，我们试试能不能和因式分解法把方程(注意，必须等号一边为0)(x+2)(x+3)(x-4)(x-5)-44=0的左边分解因式.解：(x+2)(x+3)(x-4)(x-5)-44=0，[(x+2)(x-4)][(x+3)(x-5)]-44=0,(x2-2x-8)(x2-2x-15)-44=0,令y=x2-2x-8,原方程变为y(y-7)-44=0,即y2-7y-44=0,(y-11)(y+4)=0,y-11=0或y+4=0,即x2-2x-8-11=0或x2-2x-8+4=0.由x2-2x-19=0，得x1,2=1±25；由x2-2x-4=0,得x3,4=1±5.所以x1=1+25,x2=1-25,x3=1+5,x4=1-5.(三)课堂练习1.解方程：(43-x)2-(x-43)(21-x)=0.2.解方程：x2+2x-1=0.(1.x1=43,x2=85.2.x=2622(四)小结1.换元、降次是解方程的重要思路.2.计算过程应尽可能简捷、合理，尽可能避免大乘大除.(五)作业1.用适当方法解方程：(1)x2+2=3x;(2)x2=3x+2;(3)(x-1)(x+2)=70;(4)(3-x)2=9-x2;(5)(y+3)2-2=0;(6)(3x-2)=2(3-x);(7)x2+(1-35)x+4+5=0;(8)2(x+1)(x+2)=3x(x+2);(9)(x+7)(x-7)=2x-50;(10)(3x-1)(x+3)=1;２．解关于x的方程：作业的答案或提示当a=b=0时，方程的解不定；当a≠0时，cbxabcx21,当a=0,bc≠0时，x=b+c,当a=b=0或a=c=0时，方程的解不定.课堂教学设计说明1.例2，例4，例5都渗透了换元、降次的思想.2.例3说明了在具体计算时，要合理计算即尽量利用数学公式，性质，使计算简捷.