第12讲比和比例知识网络比和比例问题是一类与数量之间的正反比例关系相关的应用题。它包括以下几个主要内容：（1）两个数的比实际就是这两上数的商。表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数叫做比例的项，比例中两个外项的积等于两个内项的积。（2）如果两种相关量x、y，可以写成，其中k是一个定值，那么称x、y为成正比例的量。（3）如果两种相关联的量x、y，可以写成x×y=k，其中k是一个定值，那么称x、y为成反比例的量。（4）两上以上的数的比叫做连比。连比满足比例的基本性质，也就是a∶b∶c=na∶nd∶nc(n≠0)。重点·难点比和比例问题的重点在于正确找出两种相关的量，并明确二者之间的比例关系。例如：1．常见的正比例关系（1）亩产量一定时，播种面积和总产量成正比例的关系，即（2）工作效率一定时，工作总量与工作时间成正比例的关系，即（3）速度一定时，路程与时间成正比例的关系，即2．常见的反比例关系（1）平行四边形的面积一定时，它的底和高成反比例的关系，即底×高=平行四边形的面积（一定）（2）总时间一定时，制造成零件个数和制造每个零件所用的时间成反比例的关系，即制造每个零件所用的时间×零件个数=总时间（一定）（3）两上互相啮合的齿轮，当齿轮转过的齿数一定时，齿数与转数成反比例的关系，即齿轮的齿数×转数=齿轮转过的齿数（一定）学法指导解答正、反比例的应用题时，首先要找出题中相关联的量，即两个变量，再确定题中隐含着的定量，判断两个变量间的比例关系，建立正确的比例式。经典例题[例1]猎犬发现在离它10米远的前方有一只狂跑着的野兔，立刻追赶。猎犬的步子大，它跑2步的路程，兔子要跑3步；但是兔子的动作快，猎犬跑3步的时间，兔子能跑4步。问猎犬至少要跑多少米方能追上野兔？思路剖析从猎犬开始追兔子到追上兔子，猎犬和兔子所用的时间相等，即时间一定，因此，它们跑的速度与距离成正比例的关系。要求出猎犬跑的距离，关键是求出猎犬与兔子的速度之比。解答因为兔子3步距离等于猎犬2步距离，不妨设兔子一步为2距离单位，则猎犬一步为3距离单位；又因为兔子4步的时间等于猎犬3步的时间，所以可设兔子每跑一步需3时间单位，猎犬每跑一步需4时间单位，根据有所以兔子与猎犬的速度之比为设猎犬至少要跑过x米才能追到兔子，则此时兔子跑过（x-10）米，根据时间一定，速度和距离成正比，可列出比例式8∶9=（x-10）∶x8x=9(x-10)x=90答：猎犬至少要跑过90米才能追上兔子。[例2]如图1所示，甲、乙、丙三个齿轮啮合，当甲轮转7圈时，乙轮恰好转8；圈；当乙轮转5圈时，丙轮恰好转14圈，求当甲轮转5圈时，丙轮转几圈？思路剖析为方便叙述，我们用甲表示甲的齿轮齿数，类似地，用乙、丙分别表示乙、丙的齿轮齿数。由已知甲∶乙=8∶7，乙∶丙=14∶5。这是由于两上互相啮合的齿轮，齿数与转数成反比例的关系，所以本题的关键是求出甲∶丙。解答由已知甲∶乙=8∶7=16∶14，又乙∶丙=14∶5所以甲∶乙∶丙=16∶14∶5，即甲∶丙=16∶5因此当甲轮转5圈时，丙轮恰好转16圈答：甲轮转5圈时，丙轮恰好转16圈。[例3]如图2所示，在三角形ABC中，DC∶BC=2∶5，BO∶OE=4∶1，求AE和EC的比。思路剖析要求AE∶EC，注意到△AOE和EOC的高相等，而△ABE和△BEC的高也相等，根据“在三角形中，如果高相等时，那么它的面积和底成比例关系”可以知道，从而将线段长度之比转化为面积之比来求解.解答连接OC,因为BO∶OE=4∶1,所以OE∶BE=1∶5.所以(1)又因为DC∶BC=2∶5所以(2)比较（1）与（2），有,从而有AO=OD所以答：AE和EC的比是3∶5。[例4]一条路全长为30公里，分为上坡、平路和下坡三段，各段路程长的比是1∶2∶3，某人走各段路程所用的时间之比是4∶5∶6，已知他上坡的速度是每小时3公里。问此人走完全程共用了多少时间？思路剖析因为已知此人走三段路程的时间之比，所以要求出此人走完全程的时间，只要根据已知条件求出此人走上坡路所用的时间，从而只要求出此人上坡的速度和上坡的路程即可。又知道全程30公里且上坡、平路和下坡三段路程比是1∶2∶3，从而求出上坡的路程。解答上坡路的路程为走上坡路所用的时间为上坡路所用时间与全程所用时间之比为走...
