第6讲奇偶数知识网络整数按照能不能被2整除，可以分为两类：（1）能被2整除的整数叫做偶数，例如0，2，4，6，8，10，12，14，16，⋯（2）不能被2整除的整数叫做奇数，例如1，3，5，7，9，11，13，15，17，⋯整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。相邻两个整数大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因为偶数能被2整除，所以偶数可以表示为2n的形式，其中n为整数；因为奇数不能被2整除，所以奇数可以表示为（2n+l）的形式，其中n为整数。每一个整数不是奇数就是偶数，这个属性叫做这个数的奇偶性。重点·难点奇偶数有如下一些重要性质：（l）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）一定是奇数。反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。（2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。任意多个偶数的和（或差）是偶数。（3）两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。（4）若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如果所有因数都是奇数，那么积就是奇数。反过来，如果若干个数的积是偶数，那么因数中至少有一个是偶数；如果若干个数的积是奇数，那么所有的因数都是奇数。（5）在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数，也可能得奇数。奇数肯定不能被偶数整除（6）偶数的平方能被4整除；奇数的平方除以4的余数是1。（7）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。学法指导如果一个整数有奇数个约数（包括1和这个数本身），那么这个数一定是平方数；如果一个整数有偶数个约数，那么这个数一定不是平方数。经典例题[例]1有m（m≥2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的（m－1）只杯子。经过若干次翻转，能使杯口全部朝上吗？思路剖析当m是奇数时，（m－l）是偶数。如果每次翻转偶数只杯子，那么无论经过多少次翻转，杯口朝上（下）的杯子数的奇偶性不会改变。一开始m只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子数是奇数，每次翻转（m－1）即偶数只杯子。无论翻转多少次，杯口朝下的杯子数永远是奇数，不可能全部朝上。当m是偶数时，（m－1）是奇数。为了直观，我们先从m=4的情形入手观察，在表1中用表示杯口朝上，表示杯口朝下，每次翻转3只杯子，保持不动的杯子用*号标记。翻转情况如表1。表1初始状态第一次翻转*第二次翻转*第三次翻转*第四次翻转*由表1看出，只要翻转4次，并且依次保持第1、2、3、4只杯子不动，就可达到要求。一般来说，对于一只杯子，要改变它的初始状态，需要翻奇数次。对于m只杯子，当m是偶数时，因为（m-1）是奇数，所以每只杯子翻转（m-1）次，就可使全部杯子改变状态。要做到这一点，只需要翻转m次，并且依次保持第1，2，⋯，m只杯子不动，这样在m次翻转中，每只杯子都有一次没有翻转，即都翻转了（m-1）次。解答m只杯子放在桌子上，每次翻转（m-1）只。当m是奇数时，无论翻转多少次，m只杯子都不可能全部改变初始状态；当m是偶数时，翻转m次，可以使m只杯子全部改变初始状态。答：经过若干次翻转，能使杯口全部朝上。［例2］图1是半张中国象棋盘。棋盘上已放有一个棋子“马”。众所周知，马是走“日”字的。请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？思路剖析为方便研究，如图2所示先在棋盘各交点处相间标上○和●。图中共有22个○和23个●。因为马走“日”字，每步只能从○跳到●，或由●跳到○，所以马从某点跳到同色的点（指○或●），要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步。现在马在○点，要跳回这一点，跳偶数步，可是棋盘上共有23+22＝45（个）点。故这只“马”不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点。［例3］能否把1，l，2，2，3，3，⋯，10，10这20个数排成一行，使两个1之间夹这20个数中的一个数，两个2之间夹这20个数中的两个数⋯⋯两个10之间夹着这20个数中的10个数？思路剖析假设已按题目要求排成一行，并按1，2，3，⋯，20编号：1、2、3⋯6⋯8⋯1415⋯20。原数：⋯，⋯，8，⋯，5，⋯，5，8，⋯不难看出，在...
